Правила Худзити

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Правила Худзити — набір семи правил, що формально описують геометричні побудови за допомогою плаского оригамі, подібним до побудови за допомогою циркуля та лінійки.

Фактично вони описують всі можливі способи отримання однієї нової складки на аркуші паперу шляхом суміщення вже існуючих різних елементів аркуша — точок та ліній. Під лініями розуміються краї аркуша або складки паперу, під точками — перетини ліній. Істотним моментом є те, що згин формується єдиною складкою, причому в результаті складання фігура залишається пласкою.

Часто ці правила називають «аксіомами», хоча з формальної точки зору аксіомами вони не є.

Правила[ред.ред. код]

Складки в цих правилах існують не завжди, правило стверджує тільки, що якщо така складка є, то її «можливо» знайти.

Правило 1[ред.ред. код]

Huzita axiom 1.png

Нехай задані дві точки p_1 і p_2, тоді аркуш можна скласти так, що ці дві точки будуть лежати на складці.

Правило 2[ред.ред. код]

Huzita axiom 2.png

Нехай задані дві точки p_1 і p_2, тоді аркуш можна скласти так, що одна точка перейде в другу.

Правило 3[ред.ред. код]

Huzita axiom 3.png

Нехай задані дві прямі l_1 і l_2, тоді аркуш можна скласти таким чином, що одна пряма перейде в другу.

Правило 4[ред.ред. код]

Huzita axiom 4.png

Нехай задані пряма l_1 і точка p_1, тоді аркуш можна скласти так, що точка пройде через складку, а пряма перейде сама в себе (тобто лінія складки буде їй перпендикулярна).

Правило 5[ред.ред. код]

Huzita axiom 5.png

Нехай задані пряма l_1 і дві точки p_1 і p_2, тоді аркуш можна скласти так, що точка p_2 потрапить на складку, а p_1 на пряму l_1.

Правило 6[ред.ред. код]

Huzita axiom 6.png

Нехай задані дві прямі l_1 і l_2 і дві точки p_1 і p_2, тоді аркуш можна скласти так, що точка p_1 потрапить на пряму l_1, а точка p_2 на пряму l_2.

Правило 7[ред.ред. код]

Huzita-Hatori axiom 7.png

Нехай задані дві прямі l_1 і l_2 і точка p, тоді аркуш можна скласти так, що точка p потрапить на пряму l_1, а пряма l_2 перейде сама в себе (тобто лінія складки буде їй перпендикулярна).

Зауваження[ред.ред. код]

Всі складки в цьому списку можна отримати як результат послідовного застосування правила номер 6. Тобто для математика вони нічого не додають, однак дозволяють зменшити кількість згинів. Система з семи правил є повною, тобто вона описує всі можливі способи отримання однієї нової складки на аркуші паперу шляхом сполучення вже існуючих різних елементів аркуша. Це останнє ствердження було доведено Робертом Ленгом[1].

Можливі і неможливі побудови[ред.ред. код]

Всі побудови є нічим іншим, як розв'язком якого-небудь рівняння, причому коефіцієнти цього рівняння пов'язані з довжинами заданих відрізків. Через це зручно казати про побудову числа — графічного розв'язку рівняння визначеного типу. В межах вищеописаних вимог можливі наступні побудови:

Інакше кажучи, можливо побудувати лише числа, що дорівнюють арифметичним виразам з використанням квадратних і кубічних коренів із початкових чисел (довжин відрізків).

В окремих випадках, за допомогою таких побудов можна здійснити подвоєння куба, трисекцію кута, побудову правильного семикутника. Розв'язок задачі про квадратуру круга однак залишається неможливим, через те, що π — трансцендентне число.

Історія[ред.ред. код]

Основне правило (номер 6) було розглянуто Маргеритою Пьяцолла-Белок (італ. Margherita Piazzolla Beloch)[2], їй же належать перші побудови трисекції кута і квадратури кола за допомогою оригамі-побудов. Повний перелік правил з'являється в роботі Жака Жюстина[3], який пізніше також посилався на Пітера Мессера як на співавтора. Практично одночасно правила 1—6 були сформульовані Хуміакі Худзитою[4]. Останнє сьоме правило додав ще пізніше Косиро Хаторі[5].

Варіації та узагальнення[ред.ред. код]

Список можливих побудов можна значно розширити, якщо дозволити створення декількох складок за один раз. Хоча людина, що вирішила зробити декілька складок за раз на практиці стикнеться з труднощами фізичного характеру, тим не менш можливо вивести правила, аналогічні правилам Худзити і для цього випадку[6]. При допущенні таких додаткових правил можливо довести наступну теорему:

Будь-яке алгебраїчне рівняння степеня n може бути розв'язане n-2 одночасними складками

Цікаво, чи можливо розв'язати те саме рівняння додаванням, що використовує меншу кількість складок. Це, безперечно, вірно для n=4 і невідомо для n=5[6].

Література[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Robert J. Lang, Origami and Geometric Constructions
  2. M. P. Beloch, Sul metodo del ripiegamento della carta per la risoluzione dei problemi geometrici, Periodico di Mathematiche, Ser. 4, Vol. 16, 1936, 104—108.
  3. Justin, Jacques, Resolution par le pliage de l'equation du troisieme degre et applications geometriques, reprinted in Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology, H. Huzita ed. (1989), 251—261.
  4. Humiaki Huzita, "Axiomatic Development of Origami Geometry, " Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology, Humiaki Huzita, ed., 1989, pp 143—158.
  5. Koshiro Hatori, Origami Construction
  6. а б Roger C. Alperin and Robert J. Lang, "One-, Two-, and Multi-Fold Origami Axioms.