Правильний 17-кутник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Правильний сімнадцятикутник

Правильний сімнадцятикутник — геометрична фігура, що належить до групи правильних багатокутників. Він має сімнадцять сторін та сімнадцять кутів, всі його кути та сторони рівні між собою, всі вершини лежать на одному колі.

Властивості[ред.ред. код]

Центральний кут α дорівнює \frac{360^\circ}{17} \approx 21,17647059^\circ.

Відношення довжини сторони до радіусу описаного кола складає

s = 2 \cdot r_u \cdot \sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) \approx r_u \cdot 0{,}3675.

Правильний сімнадцятикутник можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки, що було доведено Гаусом у 1796 році. Ним же знайдено значення косинуса центрального кута сімнадцятикутника:

\cos \frac{360^\circ}{17} = \frac{1}{16} \left( -1 + \sqrt{17} + \sqrt{ 2 \left(17- \sqrt{17} \right)}
+ 2 \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{2 \left(17- \sqrt{17} \right)} - 2 \sqrt{2 \left(17+ \sqrt{17} \right)} } \right).

Факти[ред.ред. код]

  • Гаус був настільки піднесений своїм відкриттям, що в кінці життя заповів, щоб правильний сімнадцятикутник викарбували на його могилі. Скульптор відмовився це зробити, стверджуючи, що побудова буде настільки складною, що результат не можна буде відрізнити від кола.[1]
  • У 1825 році Йоханес Ерхінгер вперше опублікував детальний опис побудови правильного сімнадцятикутника за 64 кроки. Нижче наводиться ця побудова.

Побудова[ред.ред. код]

Точна побудова[ред.ред. код]

Siebzehneck-Einfach.svg
  1. Проводимо велике коло k₁ (майбутнє описане коло сімнадцятикутника) з центром O.
  2. Проводимио її діаметр AB.
  3. Будуємо до нього перпендикуляр m, перетинаючий k₁ у точках C та D.
  4. Відмічаємо точку E — середину DO.
  5. Посередині EO відмічаємо точку F та проводимо відрізок FA.
  6. Будуємо бісектрису w₁ кута ∠OFA.
  7. Будуємо w₂ — бісектрису кута між m та w₁, яка перетинає AB у точці G.
  8. Проводимио s — перпендикуляр до w₂ з точки F.
  9. Будуємо w₃ — бісектрису кута між s та w₂. Вона перетинає AB у точці H.
  10. Будуємо коло Фалеса (k₂) на діаметрі HA. Воно перетинається з CD у точках J та K.
  11. Проводимио коло k₃ з центром G через точки J та K. Воно перетинається з AB у точках L та N. Тут важливо не переплутати N з M, вони розташовані дуже близько.
  12. Будуємо дотичну до k₃ через N.

Точки перетину цієї дотичної до вихідного кола k₁ — це точки P₃ та P₁₄ шуканого сімнадцятикутника. Якщо прийняти середину отриманої дуги за P₀ та відкласти дугу P₀P₁₄ по колу тричі, всі вершини сімнадцятикутника будуть побудовані.

Приблизна побудова[ред.ред. код]

Наступна побудова хоч і наближена, але набагато зручніша.

  1. Ставимо на площині точку M, будуємо навколо неї коло k та проводимо її діаметр AB;
  2. Ділимо навпіл радіус AM тричі по черзі в напрямку до центру (точки C, D та E).
  3. Ділимо навпіл відрізок EB (точка F).
  4. Будуємо перпендикуляр до AB у точці F.
  • Коротко: будуємо перпендикуляр до діаметру на відстані 9/16 діаметру від B.

Точки перетину останнього перпендикуляра перпендикуляра з колом ї гарним наближенням для точок P₃ та P₁₄.

При цій побудові виходить відносна похибка у 0,83 %. Кути та сторони виходять таким чином трохи більші, ніж потрібно. При радіусі 332,4 мм сторона виходить довшою на 1 мм.

Анімована побудова Ерхінгера[ред.ред. код]

Побудова сімнадцятикутника циркулем і лінійкою за 64 кроки


Примітки[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  • Karin Reich: Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). В кн.: Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm. Hrsg. von Rüdiger Thiele, Berlin, Diepholz 2000, стр. 101–118.