Представлення групи

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Представлення груп описує абстрактні групи за допомогою лінійних перетворень векторних просторів, зокрема за допомогою матриць.

Відповідно групові операції подаються за допомогою добутку лінійних перетворень чи добутку матриць

За допомогою представлень проблеми теорії груп зводяться до простіших проблем з лінійної алгебри.

Представлення груп є одним із найважливіших знарядь у дослідженні теорії груп і мають широке застосування у геометрії, фізиці, хімії і кристалографії.

Розділ математики, що вивчає представлення груп, називається теорією представлень груп.

Визначення[ред.ред. код]

Представлення групи,гомоморфізм заданої групи в групу невироджених лінійних перетворень векторного простору. Образ цього гомоморфізму є групою, елементами якої є відповідні лінійні перетворення або їх матриці. Тобто, представленням групи G, є гомоморфізм груп

h:G\to\operatorname{Aut}(W),

де \operatorname{Aut}(W) позначає групу автоморфізмів векторного простору W. Відповідно \forall u,v \in G маємо:

 h(u*v) = h(u) \cdot h(v)

де u*v — добуток елементів групи, а h(u) \cdot h(v) — добуток лінійних перетворень, що є образами цих елементів при відображенні h.

Ізоморфність представлень[ред.ред. код]

Нехай V і W — векторні простори над деяким тілом K. Два представлення

\rho_1 \colon G \to GL(V) \,\!

і

\rho_2 \colon G\rightarrow GL(W) \,\!

називають ізоморфними, якщо існує ізоморфізм векторних просторів:

\alpha \colon  V \to W \,\!

що \forall g \in G виконується рівність:

\alpha \circ \rho_1(g) \circ \alpha^{-1} = \rho_2(g). \,\!

Типи представлень[ред.ред. код]

Розділи теорії представлень груп[ред.ред. код]

Для різних видів груп представлення мають різні властивості і для їх дослідження використовуються різні математичні методи. Тому теорія представлення груп ділиться на кілька окремих розділів. Серед найважливіших зокрема є:

  • Теорія представлення скінченних груп. Є дуже важливою у вивченні загальних властивостей скінченних груп, також має важливі застосування у геометрії і кристалографії.
  • Теорія представлення компактних і локально компактних груп. Застосовує багато методів, що використовуються і для скінченних груп. Є важливою частиною гармонічного аналізу.
  • Теорія представлення груп Лі. Багато важливих приладів груп Лі є компактними, тож для їх дослідження використовуються методи теорії представлення компактних груп. Існують також і специфічні методи для груп Лі. Групи Лі і їх представлення широко використовуються у фізиці і хімії.
  • Теорія представлення лінійних алгебраїчних груп є значно менш розвинута, ніж попередні, хоча лінійні алгебраїчні групи мають багато властивостей схожих з властивостями груп Лі.

Варіації і узагальнення[ред.ред. код]

У ширшому сенсі, під представленням групи може розумітися гомоморфізм групи в групу всіх невироджених перетворень деякої множини X. Наприклад:

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. Пилипів В.М. Теорія представлень груп та її застосування(навчальний посібник). -Івано-Франківськ: ВДВ ЦІТ Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника, 2008.-156с.
  2. Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6, ISBN 978-0-387-97495-8 .
  3. James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X.
  4. Serre, Jean-Pierre (1977). Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90190-6.