Принцип Ферма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Принцип Ферма - основний принцип геометричної оптики, який стверджує, що оптична довжина $L \,$ реального променя, що проходить між точками $P_1 \,$ та $P_2 \,$ менша за оптичну довжину будь-якої іншої кривої, яку можна провести між цими двома точками.

$L = \int_{P_1}^{P_2} n ds$ ,

де n - показник заломлення, мінімальний для реального променя.

Інше формулювання полягає в тому, що промінь обирає таку траекторію, щоб затратити найменших час на подолання віддалі між двома точками.

П'єр Ферма опублікував принцип найменшого часу в 1657 р., стверджуючи "природа завжди обирає найкоротший шлях".

Виходячи з принципу Ферма можна вивести усі закони геометричної оптики, наприклад, закон заломлення.

[ред.] Історія

Один із фундаментальних принципів фізики виник в той час (1662 р.), коли ще й самої фізики в сучасному розумінні не було. Більше того, не було навіть класичної механіки (механіка Ньютона тоді ще тільки зароджувалась), в рамках якої і виникла вперше ідея розбудови фізичної теорії, що базується на аксіоматичному підході Евкліда. Таким чином, принцип Ферма, подібно до Александрійського маяка освітлював шлях, по якому йшла фізика в напрямі аксіоматизації своєї теорії на протязі останніх 350 років. Його ідея була використана при аксіоматизації класичної механіки, оптики, електродинаміки. Більше того, ці ідеї були використані при закладенні основ квантової механіки (формальне виведення рівнянь Шредінгера та Клейна - Гордона). Оскільки диференціальне числення тоді ще тільки створювалося в уяві геніального Ньютона (свої "Начала" навіть він написав використовуючи геометричний підхід, хоч при отриманні формул користувався диференціальним численням), тому Ферма сформулював свій принцип в словесній формі. Сучасна інтерпретація гласить: "Світло розповсюджується із однієї точки середовища в іншу по шляху, для проходження якого витрачається найменше часу".

Математичне формулювання можливе в межах варіаційного числення, яке виникло тільки в середині 18-го століття:

$\delta \int_{-A}^{B} dS = 0$ ,

де $A$ та $B -$ точки, між якими розповсюджується світло;

$dS = ndl \$

- елемент оптичної довжини шляху, $n = n(x,y,z) \$ - абсолютний показник заломлення середовища.

[ред.] Сучасне формулювання

В основі сучасного виведення принципу Ферма лежить використання комплексної плоскої хвилі в загальній формі, справедливій як для електромагнітних коливань, так і квантових:

$\Psi (\mathbf{r},t) = a(\mathbf{r})\exp (i[\omega t - k_0\phi(\mathbf{r})])$ .

де $a(\mathbf{r}) \$ - амплітуда коливань, $\omega \$ - циклічна частота та $k 0 -$ хвильове число, а $\phi(\mathbf{r}) \$ - функія ейконала.

Ця функція задовольняє хвильовому рівнянню Даламбера:

$\Delta F - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 F}{\partial t^2} = 0$

де $v -$ швидкість розповсюдження хвилі $F -$ довільна функція, наприклад напруженість електромагнітного поля.

Підставляючи хвильову функцію в рівняння Даламбера, шляхом тривіального диференціювання знаходимо систему із двох диференційних рівнянь для визначення ейконалу:

$(\nabla \phi)^2 = n^2 + \frac{\Delta a}{ak_0^2}$

де $n = ω / v k 0 -$ показник заломлення.

$a\Delta \phi + 2(\nabla a,\nabla \phi) = 0$

де $k 0 = ω / c = 2π / λ -$ хвильове число.

Якщо довжина хвилі $λ$ мала, а амплітуда $a$ змінюється не дуже швидко, тоді будемо мати:

$\left|\frac{\Delta a}{ak_0^2}\right| < n^2,$

$\left|\lambda^2 \frac{\partial^2 a}{\partial x^2}\right| \ll \left|\lambda \frac{\partial a}{\partial x}\right| \ll a$

і диференційні рівняння для визначенню ейконалу спрощуються:

$\nabla \phi = n \mathbf{s}$

$a \Delta \phi + 2n \frac{\partial a}{\partial \mathbf{s}} = 0$

де $\mathbf{s}$ - одиничний вектор нормалі до фронту хвилі:

$\omega t - k_0\phi = \text{const} \$ ,

проведений в сторону її руху. Останнє диференційне рівняння і називають рівнянням ейконала. Воно визначає швидкість розповсюдження фронту хвилі в напрямі нормалі $\mathbf{s}$ :

$\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{s}}{dt}$ .