Принцип еквівалентності

Принцип еквівалентності - основне твердження загальної теорії відносності, за яким спостерігач не може жодним чином відрізнити дію гравітаційного поля від сили інерції, що виникає в системі відліку, яка рухається з прискоренням.

Принцип еквівалентності справедливий завдяки рівності гравітаційної та інерційної маси.

Розрізняють слабкий принцип еквівалентності та сильний принцип еквівалентності. Різниця між ними в тому, що слабкий принцип - це локальне твердження, а сильний принцип - це твердження, що стосується будь-якої точки простору часу, тобто будь-якого місця у Всесвіті й будь-якого часу в минулому чи майбутньому.

Математичне формулювання

Подивимось, як цей принцип відображається у формулах. Для цього розглянемо світову лінію матеріальної точки з масою $m$. Натуральний параметр цієї лінії позначимо $s$, він пропорційний власному часу матеріальної точки $\tau$:

$(1) \qquad s = c \tau$

де $c$ - швидкість світла. Різниця $d s$ натурального параметра в двох близьких точках чотиривимірного простору-часу називається просторово-часовим інтервалом. Він повязаний з приростами координат наступною формулою:

$(2) \qquad (d s)^2 = c^2 (d \tau)^2 = g_{ij} d x^i d x^j$

Одиничний дотичний вектор $\nu^i$ до світової лінії є справжнім чотиривектором; він виражається через чотиривектор швидкості $v^i = {d x^i \over d \tau}$:

$(3) \qquad \nu^i = {d x^i \over d s} = {v^i \over c}$

Геодезична кривина світової лінії також є справжнім чотиривектором, і дорівнює:

$(4) \qquad k^i = {D \nu^i \over D s} = {d^2 x^i \over d s^2} + \Gamma^i_{jk} {d x^j \over d s} {d x^k \over d s}$

В спеціальній теорії відносності прискорення матеріальної точки було повязане із силою наступною формулою:

$(5) \qquad m {d^2 x^i \over d \tau^2} = F^i$

Оскільки в спеціальній теорії відносності символи Крістофеля дорівнюють нулю, то ми можемо замість другої похідної по часу підставити вектор кривини $k^i$ з відповідним коефіцієнтом, і узагальнити (5) до наступної тензорної формули:

$(6) \qquad m c^2 \left ( {d^2 x^i \over d s^2} + \Gamma^i_{jk} {d x^j \over d s} {d x^k \over d s} \right ) = F^i$

Всі справжні сили, окрім сили тяжіння і сил інерції, (наприклад електромагнітні сили) зібрані в векторі $F^i$. Мимохідь можна побачити такий цікавий геометричний факт: геодезична кривина світової лінії (розмірність обернена до відстані) дорівнює силі, поділеній на енергію спокою:.

$(7) \qquad k^i = {F^i \over m c^2}$

Сила тяжіння і сили інерції описуються одним доданком в формулі (6), повязаним із символами Крістофеля. Перепишемо (6), перенісши цей доданок в праву частину рівняння, і позначимо цю несправжню силу $\tilde F^i$ (еф з тільдою):

$(8) \qquad m {d^2 x^i \over d \tau^2} = - m_0 \Gamma^i_{jk} {d x^j \over d \tau} {d x^k \over d \tau} + F^i = \tilde F^i + F^i$

Звернемо увагу, що маса $m$ в лівій частині формули (6) винесена за дужки, а тому при розритті дужок буде однаковою інерційна маса, яка стоїть множником біля прискорення в даній системі координат:

$(9) \qquad m {d^2 x^i \over d \tau^2}$

і гравітаційна маса, яка стоїть множником в формулі для гравітаційної сили:

$(10) \qquad \tilde F^i = - m \Gamma^i_{jk} {d x^j \over d \tau} {d x^k \over d \tau}$

Ясно, що відокремити силу тяжіння від сил інерції важко, особливо в нестаціонарному гравітаційному полі.

Проте ми можемо окремо говорити про сили інерції у випадку плоского простору Мінковського, коли тензор Рімана тотожно дорівнює нулю. Також ми можемо говорити тільки про силу гравітації і відсутність сил інерції, якщо метричний тензор не залежить від часу і на нескінченності переходить в постійний тензор Мінковського:

$(11) \qquad (g_{ij}) = \begin{vmatrix} 1& 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 &0&0 \\ 0 & 0 & -1 &0 \\0 & 0 & 0 & -1 \end{vmatrix}$

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.