Принцип еквівалентності

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Принцип еквівалентності - основне твердження загальної теорії відносності, за яким спостерігач не може жодним чином відрізнити дію гравітаційного поля від сили інерції, що виникає в системі відліку, яка рухається з прискоренням.

Принцип еквівалентності справедливий завдяки рівності гравітаційної та інерційної маси.

Розрізняють слабкий принцип еквівалентності та сильний принцип еквівалентності. Різниця між ними в тому, що слабкий принцип - це локальне твердження, а сильний принцип - це твердження, що стосується будь-якої точки простору часу, тобто будь-якого місця у Всесвіті й будь-якого часу в минулому чи майбутньому.

Математичне формулювання[ред.ред. код]

Подивимось, як цей принцип відображається у формулах. Для цього розглянемо світову лінію матеріальної точки з масою m. Натуральний параметр цієї лінії позначимо s, він пропорційний власному часу матеріальної точки \tau:

(1) \qquad s = c \tau

де c - швидкість світла. Різниця d s натурального параметра в двох близьких точках чотиривимірного простору-часу називається просторово-часовим інтервалом. Він повязаний з приростами координат наступною формулою:

(2) \qquad (d s)^2 = c^2 (d \tau)^2 = g_{ij} d x^i d x^j

Одиничний дотичний вектор \nu^i до світової лінії є справжнім чотиривектором; він виражається через чотиривектор швидкості v^i = {d x^i \over d \tau}:

(3) \qquad \nu^i = {d x^i \over d s} = {v^i \over c}

Геодезична кривина світової лінії також є справжнім чотиривектором, і дорівнює:

(4) \qquad k^i = {D \nu^i \over D s} = {d^2 x^i \over d s^2} + \Gamma^i_{jk} {d x^j \over d s} {d x^k \over d s}

В спеціальній теорії відносності прискорення матеріальної точки було повязане із силою наступною формулою:

(5) \qquad m {d^2 x^i \over d \tau^2} = F^i

Оскільки в спеціальній теорії відносності символи Крістофеля дорівнюють нулю, то ми можемо замість другої похідної по часу підставити вектор кривини k^i з відповідним коефіцієнтом, і узагальнити (5) до наступної тензорної формули:

(6) \qquad m c^2 \left ( {d^2 x^i \over d s^2} + \Gamma^i_{jk} {d x^j \over d s} {d x^k \over d s} \right ) = F^i

Всі справжні сили, окрім сили тяжіння і сил інерції, (наприклад електромагнітні сили) зібрані в векторі F^i. Мимохідь можна побачити такий цікавий геометричний факт: геодезична кривина світової лінії (розмірність обернена до відстані) дорівнює силі, поділеній на енергію спокою:.

(7) \qquad k^i = {F^i \over m c^2}

Сила тяжіння і сили інерції описуються одним доданком в формулі (6), повязаним із символами Крістофеля. Перепишемо (6), перенісши цей доданок в праву частину рівняння, і позначимо цю несправжню силу \tilde F^i (еф з тільдою):

(8) \qquad m {d^2 x^i \over d \tau^2} = - m_0 \Gamma^i_{jk} {d x^j \over d \tau} {d x^k \over d \tau} + F^i = \tilde F^i + F^i

Звернемо увагу, що маса m в лівій частині формули (6) винесена за дужки, а тому при розритті дужок буде однаковою інерційна маса, яка стоїть множником біля прискорення в даній системі координат:

(9) \qquad m {d^2 x^i \over d \tau^2}

і гравітаційна маса, яка стоїть множником в формулі для гравітаційної сили:

(10) \qquad \tilde F^i = - m \Gamma^i_{jk} {d x^j \over d \tau} {d x^k \over d \tau}

Ясно, що відокремити силу тяжіння від сил інерції важко, особливо в нестаціонарному гравітаційному полі.

Проте ми можемо окремо говорити про сили інерції у випадку плоского простору Мінковського, коли тензор Рімана тотожно дорівнює нулю. Також ми можемо говорити тільки про силу гравітації і відсутність сил інерції, якщо метричний тензор не залежить від часу і на нескінченності переходить в постійний тензор Мінковського:

(11) \qquad (g_{ij}) = \begin{vmatrix} 1& 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 &0&0 \\ 0 & 0 & -1 &0 \\0 & 0 & 0 & -1 \end{vmatrix}

Основи доведення необхідності принципу еквівалентності у рамках КТП[ред.ред. код]

Нехай розглядається деякий процес, у якому приймає участь деяка кількість "зовнішніх" (різних) частинок, що можуть взаємодіяти із безмасовими частинками спіну 2 (як відомо[1], безмасове поле спіральності 2 описує гравітаційне поле). Нехай ці частинки випромінюють "м'які" гравітони (із імпульсом \ q \to 0 ). На мові діаграм частинками відповідають зовнішні лінії. Якщо врахувати можливість випромінювання фотону із кожної зовнішньої лінії, то сумарна амплітуда такого процесу набуде вигляду[2]

\ M_{\alpha \beta} = M^{0}_{\alpha \beta} \sum_{n}\frac{f_{n}\eta_{n}p^{\mu}_{n}p^{\nu}_{n} \varepsilon_{\mu \nu}(q)}{(q \cdot p_{n})}.

Тут \ p_{n} - 4-імпульс зовніщньої частинки, \ \eta_{n} = \pm 1 дорівнює одиниці для кінцевої частинки і мінус одиниці для початкової, \ f_{n} - константа взаємодії даної \ n-тої частинки та гравітонів, \ \varepsilon_{\mu \nu}(q) - поляризаційний тензор гравітона, \ M^{0}_{\alpha \beta} - амплітуда процесу без врахування випромінювання "м'яких" гравітонів.

Умова лоренц-інваріантності процесу вимагає, щоб

\ M^{0}_{\alpha \beta} \sum_{n}\frac{f_{n}\eta_{n}p^{\mu}_{n}(p_{n} \cdot q )}{(q \cdot p_{n})} = \sum_{n}f_{n}\eta_{n} = 0.

Як відомо, у будь-яких процесах зберігається 4-імпульс. Це вимагає, щоб усі константи взаємодії були однаковими: \ f_{n} = f. Це означає, що гравітаційне поле як поле спіральності 2 взаємодіє із будь-якими частинками однаково. Фактично, це є принципом еквівалентності. Більше того: зовнішніми частинками можуть бути самі гравітони, а це означає, що енергія-імпульс гравітаційного поля нічим не відрізняються від енергії-імпульсу матерії (це називається сильним принципом еквівалентності).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Посилання[ред.ред. код]


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.