Принцип найменшої дії

Класична механіка

$\bold{F} = \frac{d\bold{p}}{dt}$

Другий закон Ньютона

Історія класичної механіки Розділи Статика · Кінематика · Динаміка · Небесна механіка · Механіка суцільних середовищ · Статистична механіка Фундаментальні поняття Простір · Час · Система відліку · Маса · Інерція · Швидкість · Прискорення · Імпульс · Сила · Гравітація · Момент імпульсу · Момент сили · Момент інерції · Енергія · Кінетична енергія · Потенціальна енергія · Механічна робота · Потужність Основні принципи Принцип відносності · Закони збереження · Принцип д'Аламбера — Лагранжа · Принцип найменшої дії · Теорема Нетер Рівняння Рівняння Лагранжа I роду · Рівняння Лагранжа — Ейлера · Кінематичні рівняння Ейлера · Рівняння Гамільтона Важливі теми Малі коливання · Задача двох тіл · Абсолютно тверде тіло Формулювання Механіка Ньютона · Механіка Лагранжа · Механіка Гамільтона · Формалізм Гамільтона — Якобі Відомі науковці Архімед · Галілей · Ньютон · Кеплер · Ейлер · д'Аламбер · Лагранж · Лаплас · Гамільтон · Коші · Герц · Якобі

При́нцип найме́ншої ді́ї, у фізиці — стверджує, що із усіх можливих шляхів системи у конфігураційному просторі реалізується той, який відповідає мінімальному значенню дії.

Принцип найменшої дії є універсальним фізичним законом і використовується для виведення рівнянь руху.

Формулювання Гамільтона

У формулюванні Гамільтона, також відомому під назвою принципу Гамільтона-Остроградського, дія дорівнює

$S = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(q_i, \dot{q}_i, t) dt$,

де $\mathcal{L}$ - функція Лагранжа. Розглядаються всі можливі траєкторії, які починаються в певній точці конфігураційного простору й закінчуються в момент часу $t_2$.

Формулювання Мопертюї

У випадку, коли функція Гамільтона явно не залежить від часу при виконанні закону збереження енергії, для знаходження енергії $\mathcal{E}$ використовують функцію Лагранжа:

$\mathcal{L} = \mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{E}$,

де $\mathbf{q}$ є узагальнені координати a $\mathbf{p}$ є узагальнені імпульси.

Через функцію Лагранжа можна записати функціонал дії у вигляді:

$\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}\mathrm{d}t = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} \mathrm{d}t - \mathcal{E}(t_2-t_1) = \mathbf{S}_0 - \mathcal{E}(t_2-t_1)$

де $\mathbf{S}_0$ означає редуковану (скорочену) дію.

Варіація функціоналу дії $\mathcal{S}$ дає:

$\delta\mathcal{S} = \delta\mathcal{S}_0 - \mathcal{E}(\delta t_2-\delta t_1)$

Оскільки варіація дії при постійній енергії приводить до:

$\delta\mathcal{S} = -\mathcal{E}(\delta t_2-\delta t_1)$

тому варіація редукованої дії буде:

$\delta\mathcal{S}_0 = \delta\int_k \mathbf{p}\cdot\mathrm{d}\mathbf{q} = 0$,

де $k$ є крива в фазовому просторі, що сполучає початкову та кінцеву точки руху системи. Оскільки узагальнена координата в загальному випадку є функція залежна від конкретиного шляху $s$, тобто $\mathbf{q} = \mathbf{q}(s)$, тому узагальнений імпульс можна переписати як:

$\mathbf{p} = \mathbf{p}\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{q}}{\mathrm{d}t},\mathbf{q}\right) = \mathbf{p}\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{q}}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t},\mathbf{q}\right)$

Тоді функція Гамільтона може бути подана у вигляді:

$H\left(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}}\right) = H\left(\mathbf{q},\frac{\mathrm{d}\mathbf{q}}{\mathbf{d}s}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right) = \mathcal{E}$

Оскільки швидкість переміщення по шляху $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ є повна похідна, тому можливе розділення диференціалів і варіаційний принцип може бути записаний у вигляді:

$\delta\int \mathcal{F}\left(\mathbf{q},\frac{\mathrm{d}\mathbf{q}}{\mathrm{d}s},\mathcal{E}\right) \mathrm{d}s = 0$

Таким чином, траєкторія руху системи $\mathbf{q}(s)$ залежить від повної енергії $\mathcal{E}$. Враховуючи загальний вираз для функції Лагранжа $\mathcal{L} = a_{ij}\left(q^k\right) \dot{q}^i\dot{q}^j - V(q^k)$, тоді підінтегральна функція приймає вигляд:

$\mathcal{F} = \sqrt{2(\mathcal{E}-V) a_{ik} \frac{\mathrm{d}q^i}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}q^k}{\mathrm{d}s}}$

де $V$ i $a_{ik}$ залежні від $q^j$.

Доцільно привести більш наглядний математичний вираз для Принципу Моперт'юї у випадку однієї матеріальної частки:

$\mathcal{S}_{0} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \mathbf{p} \cdot d\mathbf{q} = \int ds \sqrt{2}\sqrt{E_{tot} - V(\mathbf{q})}$

оскільки кінетична енергія $T = E_{tot} - V(\mathbf{q})$ рівна постійній повній енергії $E_{tot}$ мінус потенціальній енергії $V(\mathbf{q})$.

Дія дорівнює

$W = \int_{q_1}^{q_2} \sum_j p_j dq_j$.

Розглядаються траєкторії, що починаються в певній точці координаційного простору $q_1$ і закінчуються в іншій наперед вибраній точці координаційного простору $q_2$ незалежно від часу, якого вимагає подолання шляху між двома точками.

Варіація

Для того, щоб знайти траєкторію системи у конфігураційному просторі, необхідно перебрати усі можливі траєкторії руху й вибрати той, для якого дія буде найменшою.

Робиться це таким чином.

Спочатку розглядається довільна траєкторія $q_i(t)$. Потім додається довільне мале відхилення (варіація) від цієї траєкторії $\delta q_i(t)$, таке, щоб $\delta q_i(t_1) = \delta q_i(t_2) = 0$. Обчислюється дія для обох траєкторій і знаходиться різниця між отриманими значеннями.

$\delta S = \int_{t1}^{t2} \mathcal{L}(q_i+\delta{q}_i, \dot{q}_i +\delta \dot{q}_i, t) dt - \int_{t1}^{t2} \mathcal{L}(q_i, \dot{q}_i, t) dt$.

Траєкторія буде реалізуватися тоді, коли ця різниця буде додатною.

Враховуючи те, що відхилення мале, функцію Лагранжа можна розкласти в ряд Тейлора, відкидаючи усі квадратичні й вищі члени.

Таким чином отримують диференційне рівняння Лагранжа (або Ейлера-Лагранжа)

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$,

справедливе тоді, коли всі сили в механічній системі потенціальні.

Ця процедура називається варіаційною процедурою. Вона є стандатним методом виведення диференційних рівнянь із інтегральних законів.

Див. також

• Принцип Ферма
• Варіаційне числення
• Рекомбінація

Джерела

• W. R. Hamilton, «On a General Method in Dynamics.», Philosophical Transaction of the Royal Society Part I (1834) p.247-308; Part II (1835) p. 95—144. (From the collection Sir William Rowan Hamilton (1805-1865): Mathematical Papers edited by David R. Wilkins, School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Ireland. (2000); also reviewed as On a General Method in Dynamics)