Принцип найменшої дії

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Класична механіка
\bold{F} = \frac{d\bold{p}}{dt}
Другий закон Ньютона
Історія класичної механіки

При́нцип найме́ншої ді́ї, у фізиці — стверджує, що із усіх можливих шляхів системи у конфігураційному просторі реалізується той, який відповідає мінімальному значенню дії.

Принцип найменшої дії є універсальним фізичним законом і використовується для виведення рівнянь руху.

Формулювання Гамільтона[ред.ред. код]

У формулюванні Гамільтона, також відомому під назвою принципу Гамільтона-Остроградського, дія дорівнює

 S = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(q_i, \dot{q}_i, t) dt ,

де  \mathcal{L} - функція Лагранжа. Розглядаються всі можливі траєкторії, які починаються в певній точці конфігураційного простору й закінчуються в момент часу  t_2 .

Формулювання Мопертюї[ред.ред. код]

У випадку, коли функція Гамільтона явно не залежить від часу при виконанні закону збереження енергії, для знаходження енергії \mathcal{E} використовують функцію Лагранжа:

\mathcal{L} = \mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{E},

де \mathbf{q} є узагальнені координати a \mathbf{p} є узагальнені імпульси.

Через функцію Лагранжа можна записати функціонал дії у вигляді:

\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}\mathrm{d}t = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} \mathrm{d}t - \mathcal{E}(t_2-t_1) = \mathbf{S}_0 - \mathcal{E}(t_2-t_1)

де \mathbf{S}_0 означає редуковану (скорочену) дію.

Варіація функціоналу дії \mathcal{S} дає:

\delta\mathcal{S} = \delta\mathcal{S}_0 - \mathcal{E}(\delta t_2-\delta t_1)

Оскільки варіація дії при постійній енергії приводить до:

\delta\mathcal{S} = -\mathcal{E}(\delta t_2-\delta t_1)

тому варіація редукованої дії буде:

\delta\mathcal{S}_0 = \delta\int_k \mathbf{p}\cdot\mathrm{d}\mathbf{q} = 0,

де k є крива в фазовому просторі, що сполучає початкову та кінцеву точки руху системи. Оскільки узагальнена координата в загальному випадку є функція залежна від конкретиного шляху s, тобто \mathbf{q} = \mathbf{q}(s), тому узагальнений імпульс можна переписати як:

\mathbf{p} = \mathbf{p}\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{q}}{\mathrm{d}t},\mathbf{q}\right) = \mathbf{p}\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{q}}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t},\mathbf{q}\right)

Тоді функція Гамільтона може бути подана у вигляді:

H\left(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}}\right) = H\left(\mathbf{q},\frac{\mathrm{d}\mathbf{q}}{\mathbf{d}s}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right) = \mathcal{E}

Оскільки швидкість переміщення по шляху \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} є повна похідна, тому можливе розділення диференціалів і варіаційний принцип може бути записаний у вигляді:

\delta\int \mathcal{F}\left(\mathbf{q},\frac{\mathrm{d}\mathbf{q}}{\mathrm{d}s},\mathcal{E}\right) \mathrm{d}s = 0

Таким чином, траєкторія руху системи \mathbf{q}(s) залежить від повної енергії \mathcal{E}. Враховуючи загальний вираз для функції Лагранжа \mathcal{L} = a_{ij}\left(q^k\right) \dot{q}^i\dot{q}^j - V(q^k), тоді підінтегральна функція приймає вигляд:

\mathcal{F} = \sqrt{2(\mathcal{E}-V) a_{ik} \frac{\mathrm{d}q^i}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}q^k}{\mathrm{d}s}}

де V i a_{ik} залежні від q^j.

Доцільно привести більш наглядний математичний вираз для Принципу Моперт'юї у випадку однієї матеріальної частки:


\mathcal{S}_{0} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \int \mathbf{p} \cdot d\mathbf{q} = 
 \int ds \sqrt{2}\sqrt{E_{tot} - V(\mathbf{q})}

оскільки кінетична енергія T = E_{tot} - V(\mathbf{q}) рівна постійній повній енергії E_{tot} мінус потенціальній енергії V(\mathbf{q}).


Дія дорівнює

 W = \int_{q_1}^{q_2} \sum_j p_j dq_j .

Розглядаються траєкторії, що починаються в певній точці координаційного простору  q_1 і закінчуються в іншій наперед вибраній точці координаційного простору  q_2 незалежно від часу, якого вимагає подолання шляху між двома точками.

Варіація[ред.ред. код]

Для того, щоб знайти траєкторію системи у конфігураційному просторі, необхідно перебрати усі можливі траєкторії руху й вибрати той, для якого дія буде найменшою.

Робиться це таким чином.

Спочатку розглядається довільна траєкторія  q_i(t) . Потім додається довільне мале відхилення (варіація) від цієї траєкторії  \delta q_i(t) , таке, щоб  \delta q_i(t_1) = \delta q_i(t_2) = 0. Обчислюється дія для обох траєкторій і знаходиться різниця між отриманими значеннями.

 \delta S = \int_{t1}^{t2} \mathcal{L}(q_i+\delta{q}_i, \dot{q}_i +\delta \dot{q}_i, t) dt - \int_{t1}^{t2} \mathcal{L}(q_i, \dot{q}_i, t) dt .

Траєкторія буде реалізуватися тоді, коли ця різниця буде додатною.

Враховуючи те, що відхилення мале, функцію Лагранжа можна розкласти в ряд Тейлора, відкидаючи усі квадратичні й вищі члени.

Таким чином отримують диференційне рівняння Лагранжа (або Ейлера-Лагранжа)

 \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}} - 
\frac{\partial L}{\partial q_i} = 0
,

справедливе тоді, коли всі сили в механічній системі потенціальні.

Ця процедура називається варіаційною процедурою. Вона є стандатним методом виведення диференційних рівнянь із інтегральних законів.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]