Принцип нерозрізнюваності частинок

Принцип нерозрізнюваності частинок — одне з основних тверджень квантової механіки, згідно з яким частинки одинакового роду жодним чином не можливо розрізнити між собою й проіндексувати.

На відміну від класичної фізики, у квантовій механіці положення частинки не є чітко визначеним у просторі. Ймовірність знайти частинку в тій чи іншій точці задається квадратом абсолютного значення хвильової функції. Тому, кожна із одинакових часток має певну ймовірність перебувати в якій-небудь визначеній точці простору. За таких умов неможливо розрізнити, яку з них ми бачимо. Якщо в класичній фізиці частинки одинакові, ми все ж можемо подумки присвоїти кожній із них номер і відслідковувати їхні траєкторії. У квантовій механіці це неможливо.

Симетричні й антисиметричні хвильові функції

Умова нерозрізнюваності частинок накладає додаткові вимоги на хвильову функцію багаточастинкової системи. Ймовірність знайти частинку в заданій точці не повинна залежати від довільно присвоєного цій частинці індексу. Тобто, у разі зміни індексування ймовірність має залишитися тією ж.

Взаємодія між частинками залежить від віддалі між ними, і в разі перестановки не змінюється. Наприклад, електрон, позначений індексом 1, взаємодіє із електроном, позначеним індексом 2, вносячи вклад до потенційної енергії квантомеханічної системи $\frac{e^2}{r_{12}}$. Якщо змінити нумерацію, і позначити перший електрон індексом 2, а другий електрон індеском 1, то цей внесок до потенційної енергії не зміниться.

Схоже твердження справедливе стосовно хвильової функції. Внаслідок перестановкм частинок імовірність знайти частинку визначеного сорту в будь-які точці простору не повинна змінитися. Але хвильова функція задає лише амплітуду ймовірності, тож після перестановки частинок хвильова функція може залишитися такою ж, або ж змінити знак на протилежний. Зміна знаку хвильової функції не впливає на ймовірність.

Таким чином, у квантовій механіці існує два види частинок. Для одного з них знак хвильвої функції не змінюється від перестановки частинок. Такі частинки називають бозонами.

Частинки, для яких хвильова функція внаслідок перестановки змінює знак, називають ферміонами.

Власні значення оператора перестановок

Формально твердження попереднього параграфу доводиться наступним чином.

Назвемо оператором перестановок таку дію на будь-яку багаточастинкову хвильвову функцію, яка переставляє індекси частинок.

$\hat{\Pi}_{i,j} \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2,...,\mathbf{r}_i,..., \mathbf{r}_j, ..., \mathbf{r}_N) = \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2,...,\mathbf{r}_j,..., \mathbf{r}_i, ..., \mathbf{r}_N)$

Оператор перестановок комутує із гамільтоніаном

$[ \hat{\Pi}_{i,j}, \hat{H}] =0.$

Отже, оператор перестановок має спільні з гамільтоніаном власні функції.

Нехай $\psi$ - власна функція оператора перестановок із певним власним числом $\lambda$

$\hat{\Pi}_{i,j} \psi = \lambda\psi$.

Вочевидь, повторна дія оператора перестановок на функцію повертає її до початкового виду, а тому

$\hat{\Pi}_{i,j} \hat{\Pi}_{i,j} \psi = \lambda^2\psi = \psi$

Звідси отримуємо рівняння для знаходження $\lambda$

$\lambda^2 = 1$

Два можливі розв'язки цього рівняння

$\lambda = 1$ та

$\lambda = -1$,

а отже при перестановці частинок хвильова функція або залишається незмінною або міняє знак.

Значення

Нерозрізнюваність часток у квантовій механіці призводить до існування особливої квантової статистики, різної для ферміонів і бозонів. Ферміони підпорядковуються статистиці Фермі-Дірака, бозони - статистиці Бозе-Ейнштейна.

Антисиметричність хвильової функції електронів має наслідком утворення ковалентних зв'язків (спарювання валентних електронів) у хімічних сполуках.

Див. також

• Принцип виключення Паулі
• Обмінна взаємодія
• Сплутані квантові стани
• Ентропія змішування

Джерела

• Юхновський І.Р. (2002). Основи квантової механіки. Київ: Либідь.