Проблема Воринга

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Проблема Воринга  — запропонована у 1770 році Едвардом Ворингом проблема теорії чисел, що запитує чи для кожного натурального числа k існує пов'язане додатне ціле число s таке, що кожне натуральне число є сумою не більше, ніж s k-тих степеней натуральних чисел (наприклад, кожне число є сумою не більше 4 квадратів, або 9 кубів, або 19 четвертих степеней і т.д.). Ствердна відповідь, відома як теорема Гільберта-Воринга, була доведена Гільбертом в 1909 році.[1] Проблема Воринга має свою власну MSC-класифікацію, 11P05, "Проблема Воринга та варіанти".

Число g(k)[ред.ред. код]

Для кожного k, позначимо через g(k) мінімальне число k-тих степеней, необхідних для подання всіх цілих чисел. Очевидно, що g(1) = 1. Прості міркування показують, що 7 вимагає 4 квадрати, 23 вимагає 9 кубів, і 79 вимагає 19 четвертих степеней; ці приклади показують, що g(2) ≥ 4, g(3) ≥ 9, а g(4) ≥ 19. Воринга припустив, що ці значення були дійсно найкращі з можливих.

У 1770 році Лагранж довів теорему про чотири квадрати згідно з якою, кожне натуральне число є сумою не більше чотирьох квадратів, а, оскільки, трьох квадратів не вистачає, ця теорема встановила, що g(2) = 4. Таку гіпотезу висловлюва ще в 1621 році Клодом Баше (Claude Gaspard Bachet de Méziriac); Ферма стверджував, що знає доведеня, але не опублікував його[2].

Протягом багатьох років, використовують все більш витончені і складні методи доведення, були встановлені різні оцінки. Наприклад, Ліувілль показав, что g(4) не перевищує 53. Гарді та Літлвуд показали, що досить великі числа є сумою не більше 19 четвертих степеней.

Те, що g(3) = 9 було встановлено між 1909 та 1912 роками Віферихом[3] та Кемпнером (A. J. Kempner)[4], у 1986 році Баласубраманян (Ramachandran Balasubramanian), Дресс (F. Dress) та J.-M. Deshouillers[5] показали, що g(4) = 19

Ейлер припустив, що, позначаючи через [x] і {x} цілу та дробової частини x відповідно, g(k) = 2k + [(3/2)k] − 2.[6]. Пізніші роботи Діксона (Leonard Eugene Dickson), Нівена[7] та інших уточнили цю ідею.

Число G(k)[ред.ред. код]

Границі
4 ≤ G(2) ≤ 4
4 ≤ G(3) ≤ 7
16 ≤ G(4) ≤ 16
6 ≤ G(5) ≤ 17
9 ≤ G(6) ≤ 21
8 ≤ G(7) ≤ 33
32 ≤ G(8) ≤ 42
13 ≤ G(9) ≤ 50
12 ≤ G(10) ≤ 59
12 ≤ G(11) ≤ 67
16 ≤ G(12) ≤ 76
14 ≤ G(13) ≤ 84
15 ≤ G(14) ≤ 92
16 ≤ G(15) ≤ 100
64 ≤ G(16) ≤ 109
18 ≤ G(17) ≤ 117
27 ≤ G(18) ≤ 125
20 ≤ G(19) ≤ 134
25 ≤ G(20) ≤ 142

Починаючи з робіт Гарді та Літлвуда, більша увага ніж g(k) приділяється числу G(k) , яке визначається як найменше число s таке, що кожне достатньо велике ціле (тобто кожне ціле число, більше деякої константи) може бути представлено у вигляді суми не більше ніж s k-тих степеней додатніх цілих. Очевидно, що G(k) ≤ g(k). Оскільки квадрати цілих чисел конгруентні 0,1 або 4 за модулем 8, то жодне число x ≡ 7 (mod 8) не може бути представлене сумою менш ніж чотирьох квадратів, тобто, G(2)=4.

У 1939 році Девенпорт (Harold Davenport) показав, що G(4)=16. Для інших k значення G(k) є невідоме, але встановлені нижня та верхні границі:

Примітки[ред.ред. код]

  1. D. Hilbert, Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem), Mathematische Annalen, 67, стор. 281-300 (1909)
  2. Dickson, Leonard Eugene (1920). «Chapter VIII». History of the Theory of Numbers, Volume II: Diophantine Analysis. Carnegie Institute of Washington. 
  3. Wieferich, Arthur (1909). «Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt». Mathematische Annalen 66. с. 95–101. doi:10.1007/BF01450913. 
  4. Kempner, Aubrey (1912). «Bemerkungen zum Waringschen Problem». Mathematische Annalen 72. с. 387–399. doi:10.1007/BF01456723. 
  5. Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Dress, François, Problème de Waring pour les bicarrés. I. Schéma de la solution. (French. English summary) [Waring's problem for biquadrates. I. Sketch of the solution] C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 303 (1986), no. 4, pp. 85-88
  6. Припущення Ейлера - Wolfram MathWorld
  7. Niven, Ivan M. (1944). «An unsolved case of the Waring problem». American Journal of Mathematics 66 (1). с. 137–143. doi:10.2307/2371901.