Прогин (техніка)

Схематичне зображення деформації згину навантаженої балки на двох опорах

Проги́н в техніці (англ. bending flexure) — вертикальне переміщення точки, що лежить на осі балки (арки, рами тощо) або на серединній поверхні оболонки (пластини), через деформацію, спричинену різними зовнішніми чинниками.

За величиною найбільшого прогину визначають один з граничних станів конструкції. Максимально допустимі значення прогинів для будівельних споруд різних типів наведено у Будівельних нормах і правилах. При випробуванні конструкцій прогин визначають спеціальними приладами — прогиномірами.

Аналітичне визначення прогину балки

Для аналітичного визначення прогину балки в довільному перерізі потрібно мати рівняння пружної лінії

$w=f(x)$.

Ступінь викривлення осі у межах пружності матеріалу балки залежить від величини згинального моменту і жорсткості бруса. Кривина осі визначається виразом:

${\frac {1}{\rho }}={\frac {M_{z}}{EI_{z}}},$

де ρ — радіус кривини осі зігнутого бруса у розглянутому перерізі;

Е — модуль Юнга матеріалу бруса;

I_z — осьовий момент інерції перерізу бруса відносно нейтральної лінії.

Для випадку малих деформацій кривина наближено виражається другою похідною від прогину $w(x)$, а тому між координатами зігнутої осі та згинальним моментом існує диференціальна залежність:

${\frac {d^{2}w(x)}{dx^{2}}}={\frac {M_{z}}{EI_{z}}},$

що називається диференціальним рівнянням осі зігнутого бруса. Його рішення називається рівнянням пружної лінії балки (бруса).

Інтегруючи рівняння, одержимо вираз, що описує прогин балки:

$w(x)=\int dx\int {\frac {M_{z}(x)}{EI_{z}(x)}}dx+Cx+D.$

Сталі C і D визначаються з умов закріплення балки.

Найбільший прогин балки $w(x)_{max}$ називається стрілою прогину — f.

Визначення прогинів у типових задачах

Балка на двох опорах навантажена зосередженим зусиллям посередині

Рівняння пружної лінії:

$w(x)={\begin{cases}-{\frac {Px(4x^{2}-3L^{2})}{48EI}},&{\mbox{for }}0\leq x\leq {\tfrac {L}{2}}\\{\frac {P(x-L)(L^{2}-8Lx+4x^{2})}{48EI}},&{\mbox{for }}{\tfrac {L}{2}}<x\leq L\end{cases}}.$

Стріла прогину:

$f=w_{L/2}={\tfrac {PL^{3}}{48EI}}.$

Консольна балка, навантажена зосередженим зусиллям на вільному кінці

Рівняння пружної лінії:

$w(x)={\tfrac {Px^{2}(3L-x)}{6EI}}.$

Стріла прогину:

$f=w_{C}={\tfrac {PL^{3}}{3EI}}.$

Консольна балка, навантажена рівномірно розподіленим зусиллям

Рівняння пружної лінії:

$w(x)={\tfrac {qx^{2}(6L^{2}-4Lx+x^{2})}{24EI}}.$

Стріла прогину

$f=w_{C}={\tfrac {qL^{4}}{8EI}}.$

Див. також

• Пружна лінія
• Деформація згину
• Балка на двох опорах

Джерела

• Опір матеріалів. Підручник /Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський. За ред. Г. С. Писаренка — К.: Вища школа,1993. — 655 с. ISBN 5-11-004083-4
• Шваб'юк В. І. Опір матеріалів: навч. посіб. для студентів ВНЗ / В. І. Шваб'юк. — К.: НТУ «КПІ», 2009. — 380 с.

Посилання

• Прогин // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 161. — ISBN 978-966-7407-83-4.