Проективний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці проективним простором називають множину елементами якої є прямі(одновимірні підпростори) деякого лінійного простору. Розділ математики, що вивчає проективні простори — проективна геометрія. Окрім того проективні простори застосовуються у алгебраїчній геометрії, теорії еліптичних кривих, топології, комп'ютерній графіці.

Визначення[ред.ред. код]

Прямі евклідова простору, що проходять через початок координат, можна уявити точками проективної площини

Нехай V_K^{n+1} — деякий векторний простір розмірності n+1 над тілом K. Тоді проективним простором P_K^{n} розмірності n над тілом K називається множина класів еквівалентності (V_K^{n+1} -\{0\})/ ~ де відношення еквівалентності ~ задається таким чином: два ненульові елементи v_1,v_2 \in V_K^{n+1} є еквівалентними тоді і тільки тоді, коли існує k \in K, такий що v_1 = k v_2. Іншими словами, два елементи векторного простору є еквівалентними, якщо вони належать одному підпростору розмірності 1 (або, менш формально, лежать на одній прямій). Класи еквівалентності називаються точками проективного простору.

У простішому нетривіальному випадку P_R^{2} визначається як множина прямих тривимірного евклідова простору, що проходять черех початок координат, в цих термінах пряма R^3 є точкою P^2. З топологічної точки зору — це сфера S^2, в якої ототожнені протилежні точки (або напівсфера, в якої ототожнені протилежні точки граничної окружності).

Однорідні координати[ред.ред. код]

У проективному просторі P_K^{n} можна задати координати. Нехай x \in P_K^{n} — деяка точка проективного простору. За визначенням вона є класом еквівалентності елементів векторного простору V_K^{n+1} (або класом еквівалентності точок відповідного афінного простору). Тоді координати (x_0,x_1,...,x_n) якогось із представників цього класу можна прийняти як координати відповідної точки проективного простору. З визначень отримується, що координати (x_0,x_1,...,x_n) і kx_0,kx_1,...,kx_n (де k \in K, \quad k \neq 0 ) визначають одну точку проективного простору. Якщо остання координата не рівна нулю координатний запис як правило унормовують так, щоб вона була рівна одиниці.

Афінні і проективні простори[ред.ред. код]

Всі точки проективного простору можна поділити на дві множини в залежності від того чи рівна остання координата нулю чи ні. Якщо вона не рівна нулю то, як правило використовується такий координатний запис при якому вона рівна одиниці. Тоді можна задати природне вкладення афінного простору A_K^{n} в проективний простір P_K^{n} визначене ін'єкцією:

(x_1,x_2,...,x_n) \mapsto [x_1,x_2,...,x_n,1]

Точки, що не мають прообразу при цьому відображенні (тобто точки виду [y_1,y_2,\ldots,y_n,0]) називаються «точками в безмежності». Вони є n-1- вимірним проективним підпростором простору P_K^{n}. Через таке вкладення багато об'єктів афінних просторів мають свої відповідники у проективному просторі. Наприклад у випадку афінної і проективної площин прямій:

ax + by + c =0\,

відповідає пряма:

aX + bY + cZ =0\,.

Підставивши Z=1 в дане рівняння легко переконатися, що для всіх точок, що лежать на прямій в афінному випадку, відповідні точки лежать на прямій у проективному випадку. Крім того у проективному випадку даній прямій належить «точка в безмежності» з координатами [-b,a,0]. В загальному випадку гіперплощині:

a_1x_1 + a_2x_2 +...+ a_nx_n +a_{n+1} =0\,

в афінному просторі відповідає:

a_1X_1 + a_2X_2 +...+ a_nX_n +a_{n+1}X_{n+1} =0\,

в проективному просторі. Многочлену P(x_1,x_2,...,x_n) степеня d відповідає однорідний многочлен P[X_1,X_2,...,X_n,X_{n+1}]=X_{n+1}^d p \left(\frac{X_1}{X_{n+1}},\frac{X_2}{X_{n+1}},...,\frac{X_n}{X_{n+1}}\right). На відміну від афінних просторів у проективному просторі гіперплощини розмірності n заважди перетинаються і перетином є проективний підпростір розмірності n-1. Наприклад якщо дві прямі a_1x + b_1y + c_1 =0 і a_2x + b_2y + c_2 =0 на афінній площині перетинаються в точці (x_0,y_0) то прямі a_1X + b_1Y + c_1Z =0 і a_2X + b_2Y + c_2Z =0 на проективній площині перетинаються в точці [x_0,y_0,1]. Якщо ж ці прямі паралельні то проективні прямі перетинаються в точці [-b_1,a_1,0] (або [-b_2,a_2,0] оскільки у випадку паралельних прямих ці координати позначають одну і ту ж точку). Окрім того, на відміну від афінного простору, проективний простір є компактним. Ці та інші властивості роблять проективні простори зручнішими ніж афінні у багатьох областях математичних досліджень, зокрема у алгебраїчній геометрії, теорії еліптичних кривих та ін.

Аксіоматика проективних просторів[ред.ред. код]

Проективний простір також може бути визначений за допомогою наступних аксіом для деякої множини P(множини точок) і множини L підмножин з P (множини прямих).

Площина Фано — приклад скінченного проективного простору
  1. Для довільних точок p і q існує єдина пряма якій належать обидві ці точки.
  2. Довільна пряма містить не менше трьох точок.
  3. Якщо a,b,c,d — відмінні точки і прямі ab і cd перетинаються, то перетинаються також прямі ac і bd.

Для визначених таким чином об'єктів можна визначити розмірність. Якщо P складається з однієї точки то розмірність такого простору рівна 0. Якщо всі точки знаходяться на одній прямій — розмірність рівна 1. Якщо є більше однієї прямої і всі прямі перетинаються — розмірність рівна 2. В інших випадках розмірність більша ніж 2.

Згідно з теоремою Веблена-Юнга дане означення еквівалентне поданим вище для всіх розмірностей окрім розмірності 2, коли всі прямі перетинаються. У випадку розмірності 2 існують об'єкти — недезаргові площини, що не можуть бути визначені через векторні простори над деяким тілом.

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
  2. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
  3. Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.
  4. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
  5. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
  6. Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
  7. Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projective geometry: from foundations to applications, Cambridge University Press, MR1629468, ISBN 978-0-521-48277-6; 978-0-521-48364-3
  8. Casse, Rey Projective Geometry: An Introduction,
  9. Coxeter, Harold Scott MacDonald (1974), Projective geometry, Toronto, Ont.: University of Toronto Press, MR0346652, OCLC 977732
  10. Dembowski, P. (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR0233275
  11. Greenberg, M.J.; Euclidean and non-Euclidean geometries, 2nd ed. Freeman (1980).
  12. Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR0463157, ISBN 978-0-387-90244-9 Oxford University Press, ISBN 0-19-929885-8
  13. Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S.; Geometry and the imagination, 2nd ed. Chelsea (1999).