Проекційна матриця

Квадратна матриця $\ P$ з комплексними елементами називається проекційною, якщо виконується $\ P=P^2.$

Якщо виконується $\ P=P^*P,$ то матриця $\ P$ називається ортогонально-проекційною.

• Проекційні матриці $\ P_1, P_2$ називаються ортогональними, якщо $\ P_1 P_2 = P_2 P_1 = 0.$

З точки зору абстрактної алгебри проекційні матриці — це ідемпотентні елементи кільця квадратних матриць.

Властивості

• Кожна ортогональна-проекційна матриця є проекційною і одночасно ермітовою матрицею, оскільки:

$\ P=P^*P \quad \Rightarrow \quad P^*= (P^*P)^* = P \quad \Rightarrow \quad P=P^2.$

• Якщо матриця $\ P$ є проекційною, то матриці

$\ P^n, \; (I - P)^n, \; P^* \quad \forall n \in \mathbb{N}$    теж будуть проекційними.

• Якщо матриця $P \!$ є ортогонально-проекційною, то матриці

$\ P^n, \; (I - P)^n \quad \forall n \in \mathbb{N}$    теж будуть ортогонально-проекційними.

• Якщо матриця $P \!$ є ортогонально-проекційною, то

$\ \forall x,y: \quad Px \perp (I - P)y.$

• Власні значення проекційних матриць можуть приймати значення тільки +1 та 0, що легко побачити з розкладу матриці по її власних векторах.
• Ортогонально-проекційні матриці є невід'ємноозначеними матрицями.

Ортогональні проектори на підпростір

• Найпростішим випадком ортогональної проекції є проекція на лінію вектора. Якщо u є одиничним вектором, тоді проектором на лінію вздовж вектора буде матриця

$\ P_u = u u^{\top}.$

• Довільна прямокутна матриця $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$ вводить дві ортогонально-проекційні матриці:

$P(A) = A^+ A \; \in \mathbb{C}^{n \times n}$ — проектор в просторі $\mathbb{C}^n$ на підпростір лінійної оболонки векторів-рядків матриці$\ A,$

$P(A^*) = A A^+ \; \in \mathbb{C}^{m \times m}$ — проектор в просторі $\mathbb{C}^m$ на підпростір лінійної оболонки векторів-стовпців матриці$\ A.$

• Проектори на ортогональне доповнення до даних підпросторів, позначаються:

$\ Z(A) = I_n - P(A),$

$\ Z(A^*) = I_m - P(A^*).$

Для $\ P(A^*), Z(A^*)$ ще використовують позначення $P_A^{\parallel}$ та $P_A^{\perp}$ відповідно.

$\ A^+$ — псевдообернена матриця до матриці A.

Приклади

• Одинична матриця є проективною.
• $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}.$
• $P = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad P^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} = P.$

Застосування

• Застосовується при QR розкладі матриці в методах: Процес Грама — Шмідта, Перетворення Хаусхолдера.
• Застосовується при сингулярному розкладі матриці.

Дивись також

• Теорія матриць
• Спектральна теорема
• Проекції

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. (1967). Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576.