Проекційна матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квадратна матриця \ P з комплексними елементами називається проекційною, якщо виконується \ P=P^2.

Якщо виконується \ P=P^*P, то матриця \ P називається ортогонально-проекційною.

  • Проекційні матриці \ P_1, P_2 називаються ортогональними, якщо \ P_1 P_2 = P_2 P_1 = 0.

З точки зору абстрактної алгебри проекційні матриці — це ідемпотентні елементи кільця квадратних матриць.

Властивості[ред.ред. код]

  • Кожна ортогональна-проекційна матриця є проекційною і одночасно ермітовою матрицею, оскільки:
\ P=P^*P \quad \Rightarrow \quad P^*= (P^*P)^* = P \quad \Rightarrow \quad P=P^2.
  • Якщо матриця \ P є проекційною, то матриці
\  P^n, \; (I - P)^n, \; P^* \quad \forall n \in \N    теж будуть проекційними.
  • Якщо матриця P \! є ортогонально-проекційною, то матриці
\ P^n, \; (I - P)^n \quad \forall n \in \N    теж будуть ортогонально-проекційними.
  • Якщо матриця P \! є ортогонально-проекційною, то
\ \forall x,y:  \quad Px \perp (I - P)y.

Ортогональні проектори на підпростір[ред.ред. код]

  • Найпростішим випадком ортогональної проекції є проекція на лінію вектора. Якщо u є одиничним вектором, тоді проектором на лінію вздовж вектора буде матриця
\ P_u = u u^{\top}.
  • Довільна прямокутна матриця A \in \C^{m \times n} вводить дві ортогонально-проекційні матриці:
P(A) = A^+ A \; \in \C^{n \times n} — проектор в просторі \C^n на підпростір векторів-рядків матриці\ A,
P(A^*) = A A^+ \; \in \C^{m \times m} — проектор в просторі \C^m на підпростір векторів-стовпців матриці\ A.
\ Z(A) =  I_n - P(A),
\ Z(A^*) = I_m - P(A^*).

Для \ P(A^*), Z(A^*) ще використовують позначення P_A^{\parallel} та P_A^{\perp} відповідно.

\ A^+псевдообернена матриця до матриці A.

Приклади[ред.ред. код]

Застосування[ред.ред. код]

Дивись також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]