Проекція Меркатора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Карта світу в проекції Меркатора
Меркаторова карта світу 1569

Рівнокутна циліндрична проекція Меркатора — одна з основних картографічних проекцій. Розроблена Герардом Меркатором для застосування в його «Атласі».

«Рівнокутна» в назві проекції підкреслює те, що проекція зберігає кути між напрямками. Всі локсодроми в ній зображуються прямими лініями. Меридіани в проекції Меркатора представляються паралельними рівновіддаленими лініями. Паралелі ж являють собою паралельні лінії, відстань між якими дорівнює відстані між меридіанами в районі екватора і швидко збільшується при наближенні до полюсів. Самі полюси не можуть бути зображені на проекції Меркатора (вони відповідають особливості функції, що відображає координати на сфері координатами на площині), тому зазвичай карту в проекції Меркатора обмежують областями до 80-85° градусів північної і південної широти.

Масштаб на карті в цій проекції не є постійним, він збільшується від екватора до полюсів (як зворотний косинус широти), однак масштаби по вертикалі і по горизонталі завжди рівні, чим, власне, і досягається рівнокутність проекції. На картах в даній проекції завжди вказується, до якої паралелі відноситься основний масштаб карти.

Спотворення площ в проекції Меркатора

Оскільки проекція Меркатора має різний масштаб на різних ділянках, ця проекція не зберігає площі. Якщо основний масштаб відноситься до екватора, то найбільші спотворення розмірів об'єктів будуть біля полюсів. Це добре помітно на мапах у цій проекції: на них Гренландія здається в 2-3 рази більшою від Австралії і порівнянна за розмірами з Південною Америкою. У реальності Гренландія втричі менша від Австралії і у 8 разів менша від Південної Америки.

Проекція Меркатора виявилася досить зручною для потреб мореплавства, особливо в давні часи. Пояснюється це тим, що траєкторія руху корабля, що йде під одним і тим же румбом до меридіану (тобто з незмінним положенням стрілки компаса щодо шкали) зображається прямою лінією на карті в проекції Меркатора.

Математичне представлення проекції Меркатора[ред.ред. код]

Карта світу в проекції Меркатора з координатними лініями, проведеними через 20°.

Для початку розглянемо найпростіший варіант проекції Меркатора: проекцію сфери на циліндр. Цей варіант не враховує сплюснутість Землі біля полюсів. Циліндричність проекції відразу дає нам вираз для горизонтальної координати на карті: вона просто пропорційна довготі точки \lambda (при використання в розрахунках слід врахувати, що представлятися ця величина повинна в радіанах)

x=c(\lambda-\lambda_0).

Умова рівнокутності — це просто рівність масштабів по горизонтальній та вертикальній осі. Оскільки масштаб по осі X на широті \theta рівний просто c/(R\cos\theta) (R — радіус Землі), то з умови dy R\cos\theta/c= R d\theta ми одержуєм вираз для залежності y від \theta


\begin{matrix}
y &=& c \ln\mathop{\rm tg}\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\\
  &=& c \,\mathop{\rm ath}\sin\theta
\end{matrix}
.

Зворотне перетворення


\begin{matrix}
\theta &=& 2\mathop{\rm arctg} \left( e^{y/c} \right) - \frac{1} {2} \pi
\\  \\  \ &=& \mathop{\rm arctg} \left( \mathop{\rm sh} (y/c) \right)
\\  \\  \lambda &=& x/c + \lambda_0.
\end{matrix}

Тепер неважко отримати вирази для рівнокутної проекції з урахуванням еліпсоїдальної форми Землі. Для цього треба записати метричну форму для еліпсоїда (a — велика піввісь, b — менша) в географічних координатах


dl^2=\frac{a^2 d\lambda^2}{1+\frac{a^2}{b^2}\mathop{\rm tg}^2\theta}+\frac{b^4}{a^2}\frac{d\theta^2}{(\cos^2\theta+\frac{b^2}{a^2}\sin^2\theta)^3},

перейти в ній до координат x та y і прирівняти масштаби по осях. Після дещо марудного інтегрування одержуєм


\begin{matrix}
x &=& c(\lambda-\lambda_0)\\
y &=& c [\mathop{\rm ath}\sin\theta-\varepsilon\mathop{\rm ath}(\varepsilon\sin\theta)].
\end{matrix}

Тут \varepsilon=\sqrt{a^2-b^2}/a — ексцентриситет земного еліпсоїда. Зворотне перетворення не виражається в елементарних функціях, але рівняння для зворотного перетворення легко розв'язати методом теорії збурень за малим \epsilon.

Ітераційна формула для зворотного перетворення має такий вигляд:

\theta_{n+1} = f \left(\theta_{n},y\right), де \theta_0 можна взяти рівним 0 або приблизно розрахувати за формулою для сфероїда.
\theta_{n+1} = arcsin\left(1-\frac{(1+\sin \theta_n)(1-\varepsilon\sin \theta_n)^\varepsilon}{e^\frac{2y}{c}(1+\varepsilon\sin \theta_n)^\varepsilon}\right)

Посилання[ред.ред. код]