Пропагатор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Пропага́тор або фу́нкція поши́рення — функція, що задає амплітуду ймовірності преходу квантової частинки, яка перебувала в певний момент часу в однієї точці простору, в іншу в інший момент часу.

Пропагатор є функцією Гріна рівняння Шредінгера. Пропагатори використовуються для функціонального формулювання квантової механіки, в якому застосовуються інтеграли Фейнмана.

Означення[ред.ред. код]

Пропагатор визначається, як матричний елемент оператора еволюції

 K(x,t;x^\prime, t^\prime) = \langle x| \hat{S}(t, t^\prime) |x^\prime \rangle ,

де пропагатор позначений K, оператор еволюції  \hat{S} , а  | x\rangle  — власна функція оператора координати.

В нерелятивістській квантовій механіці пропагатор задовольняє рівнянню

\left( \hat{H} - i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \right) K(x,t;x',t') = -i\hbar \delta(x-x')\delta(t-t'),

де  \hat{H}  — гамільтоніан,  \hbar  — зведена стала Планка.

Хвильова функція частинки в момент часу t виражається через хвильову функцію в момент часу  t^\prime < t з використанням пропагатора через формулу

 \psi(x,t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} K(x,t;x^\prime, t^\prime) \psi(x^\prime, t^\prime) dx^\prime

Приклади[ред.ред. код]

Вільна частинка[ред.ред. код]

Для вільної частинки, яка рухається в тривимірному просторі пропагатор має вигляд

 K(\mathbf{r}, t; \mathbf{r}^\prime, t^\prime) = K(\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime, t - t^\prime) = 
\left(\frac{m}{2 \pi i \hbar (t-t^\prime)}\right)^{3/2} \exp \left( \frac{im (\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime)^2}{2\hbar(t-t^\prime)} \right) ,

де m — маса частинки.

Ця формула описує розпливання хвильового пакета з часом.

Пропагатори у квантовій теорії поля [1][ред.ред. код]

У квантовій теорії поля пропагатором для коваріантного поля народження і знищення

\ \hat {\Psi}_{l}(x) = \sum_{\sigma}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2E_{\mathbf p} } }\left( \hat {a}_{\sigma}(\mathbf p)e^{-ipx}u_{l}^{\sigma}(\mathbf p) + \hat {b}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p)e^{ipx}v_{l}^{\sigma}(\mathbf p) \right),

де \ l - спінорний індекс, що відповідає спіну (спіральності) \ s поля як представлення групи Пуанкаре, \ \sigma - поляризації (\ 2s + 1 поляризацій для масивного випадку, 1 поляризація для безмасового випадку без інваріантності представлення відносно дискретних симетрій групи Лоренца та 2 поляризації для безмасового випадку із інваріантністю відносно вказаних дискретних симетрій),

(у координатному представленні) називається вираз

\ -iD^{c}_{lm}(x - y) = \langle 0| \hat {T} \left( \hat {\Psi}_{l}(x), \hat {\Psi}_{m}^{\dagger}(y)\right)| 0 \rangle \qquad (1).

Тут \ \hat {T}(\hat {A}(x)\hat {B}(y)) = \theta (x_{0} - y_{0})\hat {A}(x)\hat {B}(y) \pm \theta (y_{0} - x_{0})\hat {B}(y)\hat {A}(x),

де \ \pm обирається в залежності від типу комутаційних співвідношень для операторів полів \ \hat {A}(x), \hat {B}(y) - відповідно комутаційних чи антикомутаційних.

Обмежимось пропагатором для вільної теорії. Враховуючи, що при дії на вакуум маємо \ \hat {a}| 0 \rangle = \hat {b} | 0\rangle = 0, вираз \ (1) можна переписати як

\ -iD_{lm}^{c}(x - y) = \theta (x_{0} - y_{0})\langle | [\hat{\Psi}^{+}_{l}(x), (\hat {\Psi}^{+}_{m})^{\dagger}(y)]_{\pm} | \rangle \pm \theta (y_{0} - x_{0}) \langle | [(\hat {\Psi}^{-}_{m})^{\dagger}(y), \hat {\Psi}^{-}_{l}(x)]_{\pm}|\rangle \qquad (2),

де \ \pm визначає антикомутатор чи комутатор відповідно. Використовуючи (анти)комутаційні співвідношення на оператори народження і знищення

\ [\hat {a}_{\sigma}(\mathbf p) , \hat {a}^{\dagger}_{\sigma '}(\mathbf k) ]_{\pm} = [\hat {b}_{\sigma}(\mathbf p) , \hat {b}^{\dagger}_{\sigma '}(\mathbf k) ]_{\pm} = \delta (\mathbf p - \mathbf k )\delta_{\sigma \sigma '}, \quad [\hat {a}_{\sigma}(\mathbf p) , \hat {b}_{\sigma '}(\mathbf k) ]_{\pm} = [\hat {a}_{\sigma}(\mathbf p) , \hat {a}_{\sigma '}(\mathbf k) ]_{\pm} = ... = 0,

можна отримати вираз

\ -iD_{lm}^{c}(x - y) = -iP_{lm}\left(i\frac{\partial }{\partial x}\right)D^{c}(x - y) \qquad (3),

де

\ P_{lm}\left(p \right) = \sum_{\sigma}u^{\sigma}_{l}(p)(u^{\sigma}_{l})^{\dagger}(p),

а

\ D^{c}(x - y) = i\theta (x_{0} - y_{0})  D_{m}(x - y)  + i\theta (y_{0} - x_{0}) D_{m}(y - x), \quad D_{m}(x - y) = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}2p_{0}}e^{ip(x - y)} -

пропагатор для клейн-гордонівського поля спіну 0. Як можна показати, він задовольняє рівнянню

\ \left(\partial^{2} + m^{2}\right)D^{c}(x - y) = \delta (x - y),

тому його можна представити як

\ D^{c}(x - y) = \frac{i}{(2 \pi)^{4}}\int \frac{e^{-ip(x - y)}d^{4}p}{p^{2} - m^{2} - i0}.

Тому, нарешті, вираз \ (3) переписується як

\ D_{lm}^{c}(x - y) = P_{lm}\left(i\frac{\partial }{\partial x}\right)\frac{i}{(2 \pi)^{4}}\int \frac{e^{-ip(x - y)}d^{4}p}{p^{2} - m^{2} - i0} =  \frac{i}{(2 \pi)^{4}}\int \frac{P_{lm}\left(p \right)e^{-ip(x - y)}d^{4}p}{p^{2} - m^{2} - i0}.

Для найпростіших теорій (скалярної, діраківської, масивного бозону спіну 1 і безмасового бозону спіральності 1) маємо, з відомих виразів для сум по поляризаціям,

\ D^{sc.}_{lm}(x - y) = D^{c}(x - y) = \frac{i}{(2 \pi)^{4}}\int \frac{e^{-ip(x - y)}d^{4}p}{m^{2} - p^{2} - i0},

\ D^{d.}_{lm}(x - y) = \frac{i}{(2 \pi)^{4}}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} + m)\int \frac{e^{-ip(x - y)}d^{4}p}{m^{2} - p^{2} - i0} ,

\ D^{pr.}_{lm}(x - y) = \frac{i}{(2 \pi)^{4}}\left(g_{\mu \nu} + \frac{\partial_{\mu}\partial_{\nu}}{m^{2}} \right)\int \frac{e^{-ip(x - y)}d^{4}p}{m^{2} - p^{2} - i0} ,

\ D^{el.}_{lm}(x - y) = \frac{i}{(2 \pi )^{4}}g_{\mu \nu}\int \frac{e^{-ip(x - y)}d^{4}p}{-p^{2} - i0}.


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Посилання[ред.ред. код]

  1. [1]

Література[ред.ред. код]

  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К.: Либідь, 2002. — 392 с.
  • Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Наука, 1984. — 600 с.
  • Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. — М.: Наука, 1978. — 296+408 с.
  • Вентцель Г. Введение в квантовую теорию волновых полей. — М.: ГИТТЛ, 1947. — 292 с.
  • Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск: РХД, 2009. — 632 с.
  • Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1984. — 448+400 с.
  • Пескин М., Шрёдер Д. Введение в квантовую теорию поля. — Ижевск: РХД, 2001. — 784 с.
  • Райдер Л. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1987. — 512 с.