Проста група

Простою групою в теорії груп називається група, що не має нормальних підгруп за винятком самої групи і одиничної групи. Будь-яка група яка не є простою може бути розкладена за допомогою деякої нормальної підгрупи і факторгрупи. Згодом якщо факторгрупа не є простою, процес можна продовжити. У випадку скінченної групи згідно з теоремою Жордана-Гьольдера після скінченної кількості кроків одержується певна однозначно визначена проста підгрупа.

Приклади

• Циклічна група $\Z_p$ простого порядку $p$.

Справді єдиними підгрупами такої групи є сама група і одинична група, а значить вони є також єдиними нормальними підгрупами. Дані групи є єдиними можливими комутативними простими групами.

• Усі знакозмінні групи (тобто групи парних перестановок) для 5 і більше елементів є простими.

Тести, що засвідчують непростоту

• Тест Силова  — Нехай n не є простим і p є деяким простим дільником n. Тоді якщо 1 є єдиним дільником n рівним 1 за модулем p, то не існує простої групи порядку p
• Тест Бернсайда  — порядок некомутативної скінченної простої групи ділиться щонайменше на три різні прості числа.

Література

• Курош А.Г. (1967). Теория групп (вид. третє). Москва: Наука. с. 648. ISBN 5-8114-0616-9. 
• Burnside, William (1897), Theory of groups of finite order, Cambridge University Press