Проста функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Проста́ функція в математицівимірна функція, задана на деякому вимірному просторі множина значень якої скінченна.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай (X,\mathcal{F}) — вимірний простір. Нехай A_1,\ldots,A_n \in \mathcal{F}, где n \in \mathbb{N} — скінченна послідовність вимірних множин. Тоді вимірна функція f:X\to \mathbb{R}(\mathbb{C}) називається простою, якщо вона може бути записана у виді:

f(x)=\sum_{i=1}^n a_i {\mathbf 1}_{A_i}(x), x\in X,

де a_i\in \mathbb{R} (\mathbb{C}), \mathbf{1}_{A_i}індикатор множини A_i, i = 1,\ldots,n. Тобто дана функція є лінійною комбінацією індикаторів множин.

Замітки[ред.ред. код]

f(x)=\sum_{i=1}^n a_i {\mathbf 1}_{A_i}(x), x\in X,

і \mu(A_i) < \infty, \forall i = 1,\ldots,n, то f інтегровна за Лебегом, і

\int\limits_X f\, d\mu = \sum\limits_{i=1}^n a_i\, \mu(A_i).

Властивості[ред.ред. код]

  • Сума, різниця і добуток двох простих функцій є простою функцією. Справді, якщо f,g — прості функції і A_1,\ldots,A_n \in \mathcal{F} і B_1,\ldots,B_m \in \mathcal{F} — відповідні їм множини з визначення простих функцій, то на всіх множинах A_i \cap B_j \quad i \in \{1 .. n\}, j \in \{1 .. m\} функції f \cdot g, f+g, f-g є сталими. Оскільки очевидно кількість таких множин є скінченною то й дані функції мають скінченну кількість значень.
Також множення простої функції на скаляр дає просту функцію
Отже множина простих функцій визначених на деякому вимірному просторі утворює комутативну алгебру над полем дійсних (комплексних чисел).
Довільна невід'ємна вимірна функція f\colon X \to\mathbb{R}^{+} є поточковою границею монотонної зростаючої послідовності невід'ємних простих функцій .
Справді нехай f — невід'ємна вимірна функція визначена на просторі
(\Omega, {\mathcal F},\mu). Для кожного n\in\mathbb N, область значень функції f розбиваємо на 2^{2n}+1 інтервалів наступним способом. Нехай {\mathbf 1}_{n,k}=\left[\frac{k-1}{2^n},\frac{k}{2^n}\right) для k=1,2,\ldots,2^{2n} і {\mathbf 1}_{n,2^{2n}+1}=[2^n,\infty]. Далі можна визначити вимірні множини A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k}) для k=1,2,\ldots,2^{2n}+1. Тоді зростаюча послідовність
f_n=\sum_{k=1}^{2^{2n}+1}\frac{k-1}{2^n}{\mathbf 1}_{A_{n,k}} збігається до f при n\to\infty.
Коли f є обмеженою збіжність є рівномірною.
В загальному випадку довільну функцію можна записати у вигляді різниці f = f^+ - f^-, де f^+ — додатна, а f^- — модуль від'ємної частини функції. Оскільки f^+ ,f^- — невід'ємні вимірні функції то подане вище твердження справджується для них і відповідно для функції f (очевидно тільки без монотонності).

Приклад[ред.ред. код]

 f(x) = \left\{
\begin{matrix}
1, & x > 0\\
0, & x = 0\\
-1, & x < 0
\end{matrix}
\right., x\in \mathbb{R}
проста, оскільки вона вимірна і приймає три різних значення.
D(x)=\begin{cases} 1, & x\in\mathbb Q \\ 0, & x\in\mathbb R \setminus\mathbb Q \end{cases}

Література[ред.ред. код]

  • Рудин У. Основы математического анализа. М., 1976