Простий модуль

В абстрактній алгебрі простий модуль (також незвідний модуль) — ненульовий унітарний модуль M над кільцем R з одиницею, що містить лише два підмодулі — нульовий і сам M.

Приклади

1. якщо $R = \Z$ — кільце цілих чисел то простими $\Z$-модулями, є абелеві групи простого порядку;
2. якщо R — тіло, то простими R-модулями є одновимірні векторні простори над R;
3. якщо D — тіло, V — лівий векторний простір над D, R = End_DV — кільце лінійних перетворень простору V (або щільне підкільце цього кільця), то правий R-модуль є простим;
4. якщо G — група, k — поле, то незвідні представлення групи G над k — це в точності прості модулі над груповою алгеброю kG.

Властивості

• Прості модулі можна еквівалентно визначити як модулі довжина яких рівна 1.
• Довільний простий модуль є циклічним, тобто породженим одним елементом або M = (x) = R x = {rx | r ∈ R} для деякого елемента x, що належить M.
• Правий R-модуль М є простим тоді і тільки тоді, коли він ізоморфний R/I, де I — деякий максимальний правий ідеал в R.
• Якщо А, В — прості R-модулі, $f \in Hom_R (A, B)$, то або f=0, або f — ізоморфізм (звідки випливає, що кільце ендоморфізмів простих модулів є тілом).
• Якщо ж R — алгебра над алгебраїчно замкнутим полем k; А, В — прості R-модулі то (лемма Шура):

$Hom_R (A, B) = \begin{cases} k & A \cong B \\ \{0\}& A \ncong B\end{cases}$

Поняття простого модуля є одним з основних в теорії кілець і теорії представлення груп. З його допомогою визначаються композиційний ряд і цоколь модуля, радикали Джекобсона модуля і кільця, цілком незвідний модуль. Прості модулі використовуються у визначенні ряду важливих класів кілець: класично напівпростих кілець, примітивних кілець.

Див. також

• Проста група
• Просте кільце
• Довжина модуля

Джерела

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 5./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
• Херштейн И.Н., Некоммутативные кольца, М.: Мир, 1972.