Простір Шварца

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Простір Шварца — простір функцій, всі похідні яких швидко спадають до нуля з ростом аргумента. Названий Александром Гротендіком в честь Лорана Шварца[1]. Функції з цього простору часто називають функціями Шварца. Позначається найчастіше буквою S або \mathcal{S}.

Формально кажучи, складається з таких гладких функцій f(x), що x^m\partial^k f(x) \rightarrow 0 при |x| \rightarrow \infty швидше, ніж \frac{1}{|x|^{\alpha}} при довільному додатному \alpha.

Важливою властивістю простору Шварца є те, що перетворення Фур'є є автоморфізмом цього простору. Будь-яку функцію з цього простору перетворення Фур'є переводить у деяку функцію з цього ж простору, і навпаки — кожна з функцій з простору Шварца є прообразом Фур'є деякої функції з цього простору.

Даний простір використовується, наприклад, як простір основних функцій при означенні перетворення Фур'є узагальнених функцій (узагальнені функції над S часто називають узагальненими функціями повільного зростання) і відіграє досить важливу роль у функціональному аналізі та теорії рівнянь з частинними похідними.

Означення[ред.ред. код]

Нехай C^\infty(\mathbb{R}^n) — простір нескінченно-диференційовних функцій f(x):\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{C}, а

C_D^\infty(\mathbb{R}^n), D\subset\mathbb{R}^n — простір нескінченно-диференційовних функцій з компактним носієм (тут D — деяка компактна множина в \mathbb{R}^n).

Для довільних мультиіндексів m, k визначимо систему норм \|\cdot\|_{m, k} наступним чином

\|f\|_{m,k}=\sup_{x\in\mathbb{R}^n} \left |x^m \partial^k f(x) \right |, \quad f(x)\in C^\infty(\mathbb{R}^n).

Простором Шварца або простором швидкоспадних функцій на \mathbb{R}^n є такий функціональний простір:

S \left(\mathbb{R}^n\right) = \left \{ f \in C^\infty(\mathbf{R}^n) \mid  \|f\|_{m,k} < +\infty\quad \forall m, k \right \}.

З означення простору випливає, що виконуються нерівності

\sup_{x\in\mathbb{R}^n} \left |x^m \partial^k f(x) \right |\leqslant C_{mk},

де C_{mk} — деякі подвійна послідовність додатних дійсних чисел, причому на поведінку цієї послідовності не накладається ніяких обмежень.

Збіжність в просторі S визначається наступним чином: послідовність функцій \{\varphi_s(x)\}_{s=1}^{\infty} збігається до функції \varphi(x), якщо

а) для довільного q=0,1,2,\ldots послідовність похідних \{\varphi^{(q)}_s(x)\} збігається рівномірно до \varphi^{(q)}(x) в довільній обмеженій області;

б) для довільних m, k виконуються оцінки

\sup_{x\in\mathbb{R}^n} \left |x^m \partial^k \varphi_s(x) \right |\leqslant C_{mk}, де сталі C_{mk} не залежать від s.

Приклади[ред.ред. код]

Двовимірна функція Гауса є прикладом швидкоспадної функції
f(x) = x^a\displaystyle e^{- (bx)^2 },\quad a,b\in\mathbb{R},
  • як узагальнення попереднього прикладу — всі функції виду
f(x) = P(x)\displaystyle e^{- bx^\alpha },\quad b, \alpha>0,

де P(x) — довільний многочлен,

Властивості[ред.ред. код]

  • за означенням функції з простіру S \left(\mathbb{R}^n\right) у підмножиною функцій із C^\infty(\mathbb{R}^n), \, S \left(\mathbb{R}^n\right)\subset C^\infty(\mathbb{R}^n);
  • лінійна комбінація, поточковий добуток довільних двох функцій із S(\mathbb{R}^n) та зсув по аргументу не виводять за межі простору S(\mathbb{R}^n)
f,g\in S(\mathbb{R}^n),\,\, \forall \alpha, \beta\in \mathbb{R},\,\, \forall h\in \mathbb{R}^n :\quad \alpha f(x)+ \beta g(x), \,\, f(x)\cdot g(x),\,\, f(x+h)\in S(\mathbb{R}^n);
  • Простір Шварца є простором Фреше — повним метризованим локально випуклим простором
  • S(\mathbb{R}^n)\subset L^p(\mathbb{R}^n) для довільного p,\,1\leqslant p\leqslant +\infty;
  • Перетворення Фур'є є автоморфізмом S(\mathbb{R}^n)\rightarrow S(\mathbb{R}^n);
  • Довільна функція із S(\mathbb{R}) є рівномірно неперервною на \mathbb{R}.

Простори типу S[ред.ред. код]

З означення простору Шварца випливає, що виконуються нерівності

\sup_{x\in\mathbb{R}^n} \left |x^m \partial^k f(x) \right |\leqslant C_{mk}.

Якщо числа C_{mk} спеціальним чином залежать від мультиіндексів m та k, то розрізняють конкретні простори типу простору Шварца.

Простір S_\alpha, \alpha\geqslant 0, складається з таких нескінченно диференційовних функцій f(x), для яких виконуються нерівності

\|f\|_{m,k}=\sup_{x\in\mathbb{R}^n} \left |x^m \partial^k f(x) \right |\leqslant C_k B^m m^{m\beta}, \quad f\in C^\infty(\mathbb{R}^n)

де сталі C_k, A залежать від функції f.

Простір S^\beta, \beta\geqslant 0, складається з таких нескінченно диференційовних функцій f(x), які задовольняють нерівності

\|f\|_{m,k}\leqslant C_m A^k k^{k\alpha},

де сталі C_m, B залежать від функції f.

Простір S_\alpha^\beta,  \alpha, \beta\geqslant 0, складається з таких нескінченно диференційовних функцій f(x), які задовольняють нерівності

\|f\|_{m,k}\leqslant C A^k B^m k^{k\alpha} m^{m\beta},

де сталі C, A, B залежать від функції f.

Простори S_\alpha, S^\beta, S можна вважати граничними випадками простору S_\alpha^\beta, а саме

S_\alpha=S_\alpha^\infty,\quad S^\beta=S_\infty^\beta, \quad S=S_\infty^\infty.

Примітки[ред.ред. код]

  1. TerzioĞglu, T. (1969). On Schwartz spaces. Mathematische Annalen, 182(3), 236–242.

Література[ред.ред. код]

  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Москва: Наука, 1976. — 543 с.
  • Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. — М.: Физматлит, 1959. — 472 с.
  • Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. — М.: Физматлит, 1958. — 308 с.

Посилання[ред.ред. код]