Простір Шварца

Простір Шварца — простір функцій, всі похідні яких швидко спадають до нуля з ростом аргумента. Названий Александром Гротендіком в честь Лорана Шварца. Функції з цього простору часто називають функціями Шварца. Позначається найчастіше буквою $S$ або ${\mathcal {S}}$.

Формально кажучи, складається з таких гладких функцій $f(x)$, що $x^{m}\partial ^{k}f(x)\rightarrow 0$ при $|x|\rightarrow \infty$ швидше, ніж ${\frac {1}{|x|^{\alpha }}}$ при довільному додатному $\alpha$.

Важливою властивістю простору Шварца є те, що перетворення Фур'є є автоморфізмом цього простору. Будь-яку функцію з цього простору перетворення Фур'є переводить у деяку функцію з цього ж простору, і навпаки — кожна з функцій з простору Шварца є прообразом Фур'є деякої функції з цього простору.

Даний простір використовується, наприклад, як простір основних функцій при означенні перетворення Фур'є узагальнених функцій (узагальнені функції над $S$ часто називають узагальненими функціями повільного зростання) і відіграє досить важливу роль у функціональному аналізі та теорії рівнянь з частинними похідними.

Означення

Нехай $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ — простір нескінченно-диференційовних функцій $f(x):\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C}$, а

$C_{D}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),D\subset \mathbb {R} ^{n}$ — простір нескінченно-диференційовних функцій з компактним носієм (тут $D$ — деяка компактна множина в $\mathbb {R} ^{n}$).

Для довільних мультиіндексів $m,k$ визначимо систему норм $\|\cdot \|_{m,k}$ наступним чином:

$\|f\|_{m,k}=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{m}\partial ^{k}f(x)\right|,\quad f(x)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).$

Простором Шварца або простором швидкоспадних функцій на $\mathbb {R} ^{n}$ є такий функціональний простір:

$S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)=\left\{f\in C^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})\mid \|f\|_{m,k}<+\infty \quad \forall m,k\right\}.$

З означення простору випливає, що виконуються нерівності

$\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{m}\partial ^{k}f(x)\right|\leqslant C_{mk},$

де $C_{mk}$ — деякі подвійна послідовність додатних дійсних чисел, причому на поведінку цієї послідовності не накладається ніяких обмежень.

Збіжність в просторі $S$ визначається наступним чином: послідовність функцій $\{\varphi _{s}(x)\}_{s=1}^{\infty }$ збігається до функції $\varphi (x)$, якщо

а) для довільного $q=0,1,2,\ldots$ послідовність похідних $\{\varphi _{s}^{(q)}(x)\}$ збігається рівномірно до $\varphi ^{(q)}(x)$ в довільній обмеженій області;

б) для довільних $m,k$ виконуються оцінки

$\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{m}\partial ^{k}\varphi _{s}(x)\right|\leqslant C_{mk},$ де сталі $C_{mk}$ не залежать від $s$.

Приклади

Двовимірна функція Гауса є прикладом швидкоспадної функції

• функція типу функції Гауса

$f(x)=x^{a}\displaystyle e^{-(bx)^{2}},\quad a,b\in \mathbb {R} ;$

• як узагальнення попереднього прикладу — всі функції виду

$f(x)=P(x)\displaystyle e^{-bx^{\alpha }},\quad b,\alpha >0,$

де $P(x)$ — довільний многочлен;

• довільна гладка функція з компактним носієм, тобто функція з $C_{D}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).$

Властивості

• за означенням функції з простіру $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ є підмножиною функцій із $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\,S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\subset C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$;

• функції з $C_{D}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ утворюють щільну множину в $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$;

• лінійна комбінація, поточковий добуток довільних двох функцій із $S(\mathbb {R} ^{n})$ та зсув по аргументу не виводять за межі простору $S(\mathbb {R} ^{n})$

$f,g\in S(\mathbb {R} ^{n}),\,\,\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R} ,\,\,\forall h\in \mathbb {R} ^{n}:\quad \alpha f(x)+\beta g(x),\,\,f(x)\cdot g(x),\,\,f(x+h)\in S(\mathbb {R} ^{n});$

• простір Шварца є простором Фреше — повним метризовним локально випуклим простором

• $S(\mathbb {R} ^{n})\subset$ $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ для довільного $p,\,1\leqslant p\leqslant +\infty$;

• перетворення Фур'є є автоморфізмом $S(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow S(\mathbb {R} ^{n});$

• довільна функція із $S(\mathbb {R} )$ є рівномірно неперервною на $\mathbb {R} .$

Простори типу S

З означення простору Шварца випливає, що виконуються нерівності

$\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{m}\partial ^{k}f(x)\right|\leqslant C_{mk}.$

Якщо числа $C_{mk}$ спеціальним чином залежать від мультиіндексів $m$ та $k,$ то виділяють такі простори типу простору Шварца:

• Простір $S_{\alpha },\alpha \geqslant 0,$ складається з таких нескінченно диференційовних функцій $f(x)$, для яких виконуються нерівності

$\|f\|_{m,k}=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{m}\partial ^{k}f(x)\right|\leqslant C_{k}B^{m}m^{m\beta },\quad f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$

де сталі $C_{k},A$ залежать від функції $f$.

• Простір $S^{\beta },\beta \geqslant 0,$ складається з таких нескінченно диференційовних функцій $f(x)$, які задовольняють нерівності

$\|f\|_{m,k}\leqslant C_{m}A^{k}k^{k\alpha },$

де сталі $C_{m},B$ залежать від функції $f$.

• Простір $S_{\alpha }^{\beta },\alpha ,\beta \geqslant 0,$

складається з таких нескінченно диференційовних функцій $f(x)$, які задовольняють нерівності

$\|f\|_{m,k}\leqslant CA^{k}B^{m}k^{k\alpha }m^{m\beta },$

де сталі $C,A,B$ залежать від функції $f$.

Простори $S_{\alpha },S^{\beta },S$ можна вважати граничними випадками простору $S_{\alpha }^{\beta }$, а саме

$S_{\alpha }=S_{\alpha }^{\infty },\quad S^{\beta }=S_{\infty }^{\beta },\quad S=S_{\infty }^{\infty }.$

Література

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)

• Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. — М. : Физматлит, 1959. — 472 с.

• Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. — М. : Физматлит, 1958. — 308 с.

Посилання

• Schwartz Functions [Архівовано 17 квітня 2014 у Wayback Machine.] на сайті MathWorld (англ.)