Прості числа-близнюки

Прості числа-близнюки це пара простих чисел, різниця між якими становить 2.

Найменшими числами-близнюками є: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

Властивості

• Всі пари простих-близнюків крім (3, 5) мають вид $6n\pm 1\,$.

Справді для будь-якої пари простих чисел-близнюків число, що знаходиться між ними є очевидно парним. Також воно ділиться на 3, оскільки з трьох послідовних чисел одне має ділитися на три. Тому дане число також ділиться на 6, а двоє сусідніх чисел мають вид $6n\pm 1\,$

• Числа m, m + 2 є простими числами—близнюками тоді і тільки тоді коли:

Справді $4((m-1)! + 1) \equiv -m \pmod {m(m+2)}.$

Дійсно $4((m-1)! + 1)+m \equiv 0 \pmod {m(m+2)}.$ виконується в тому і тільки тому випадку коли виконуються рівності:

• $4((m-1)! + 1)+m \equiv 0 \pmod {m}$
• $4((m-1)! + 1)+m \equiv 0 \pmod {(m+2)}$

Перша з цих рівностей еквівалентна $((m-1)! + 1)\equiv 0 \pmod {m}$ , що згідно з теоремою Вілсона виконується тоді і тільки тоді коли m просте число.

У другій рівності домножимо обі частини на m. Після елементарних перетворень одержуємо:

• $4m! + 4m+m^2 \equiv 0 \pmod {(m+2)}$

Неважко помітити, що остання рівність виконуєтьс в тому і лише тому випадку коли $m! \equiv 1 \pmod {(m+2)}$, що згідно з варіантом теореми Вілсона еквівалентно твердженню, що число m + 2 — просте.

• Теорема Бруна: Ряд із чисел обернених до чисел—близнюків сходиться:

$B_2=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right) +\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{1}{17}+\frac{1}{19}\right)+\ldots \approx 1.902160583104$

Число, що є сумою ряду називається константою Бруна.

Найбільші відомі прості-близнюки

На даний час найбільшою відомою парою простих—близнюків є 65516468355 · 2³³³³³³ ± 1. Шість найбільших відомих пар:

• $65516468355 \cdot 2^{333333}\pm 1$ (100355 цифр)
• $2003663613 \cdot 2^{195000}\pm 1$ (58711 цифр)
• $194772106074315 \cdot 2^{171960} \pm 1$ (51780 цифр)
• $100314512544015 \cdot 2^{171960} \pm 1$ (51780 цифр)
• $16869987339975 \cdot 2^{171960} \pm 1$ (51779 цифр)
• $33218925 \cdot 2^{169690} \pm 1$ (51090 цифр)

Гіпотеза про нескінченність

Однією з знаменитих відкритих проблем теорії чисел є скінченність чи нескінченність простих—близнюків. Інтуїтивно більшість математиків схиляються до думки про існуванн нескінченної кількості таких чисел проте цей факт залишається не доведеним.

Гіпотеза Харді—Літлвуда

За гіпотезою Харді-Літлвуда кількість $\pi_2(x)$ пар простих-близнюков, що не перевищують x, асимптотично наближається до

$\pi_2(x) \sim 2 C_2 \int\limits_2^x \frac{dt}{(\ln t)^2}$

де $C_2$ — константа простих-близнюків:

$C_2 = \prod_{p\ge 3} \left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right) \approx 0.66016118158468695739278121100145\ldots$

Прості числа-триплети

Послідовність простих чисел (p, p+2, p+6) або (p, p+4, p+6) називається триплетом.

Перші прості числа-триплети :

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41 , 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193 , 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317 ), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)

На даний час найбільшими відомими простими числами-триплетами є:

(p, p+2, p+6), де p = 2072644824759 × 2³³³³³ − 1 (10047 цифр, листопад, 2008, Norman Luhn, François Morain, FastECPP)