Процедура Келі-Діксона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Процедура Келі-Діксона (процедура подвоєння) — це рекурсивна процедура побудови алгебр над полем дійсних чисел, з подвоєнням розмірності на кожному кроці.

Дана процедура дозволяє визначити комплексні числа, кватерніони, октави, седеніони і т.д.

Також використовується в теоремі Гурвіца для знаходження всіх нормованих алгебр з одиницею.

Кватерніони[ред.ред. код]

Довільний кватерніон \ q = a + bi + cj + dk можна представити у вигляді \ q = (a + bi) + (c + di)j

або \ q = z_1 + z_2 j, \quad z_1 = a + bi, \quad z_2 = c + di,

де \ z_1, z_2комплексні числа, оскільки \ i^2 = -1 виконується як для комплексних чисел так і для кватерніонів.

Позначимо ще один кватерніон як

\ r = w_1 + w_2 j.

Перемноживши кватерніони, отримаємо:

\ qr = (z_1 + z_2 j)(w_1 + w_2 j) = z_1 w_1 + z_1 w_2 j +  z_2 j w_1 +  z_2 j w_2 j — дужки розкрили, бо множення кватерніонів асоціативне.

Оскільки \ zj = j \bar{z}, \; zw = wz,

то переставимо множники і отримаємо:

\ qr = (z_1 w_1 - \bar{w_2} z_2) +  (w_2 z_1 +  z_2 \bar{w_1}) j.

Отже кватерніони можна визначити як вирази, виду \ z_1 + z_2 j, що задовільняють вищенаведену формулу множення.

Дана формула цікава ще й тим, що вона збігається з формулою множення комплексних чисел.

Загальний випадок[ред.ред. код]

Якщо для деяких чисел \ a та \ b існують поняття: множення, ділення, спряженого числа і норми числа як \ |a|^2 = a \bar{a},

то ці поняття можна ввести і для впорядковиних пар чисел \ (a, b):

  • \ (a, b)(c, d) = (a c - \bar{d} b, d a + b \bar{c}) — закон множення пар,
  • \ \overline{(a, b)} = (\bar{a}, -b) — спряжена пара.

Властивості[ред.ред. код]

  • Норма впорядкованої пари:
\ |(a, b)|^2 = (a, b) \overline{(a, b)} = (a, b) (\bar{a}, -b) = (a \bar{a} + b \bar{b}, b a - b a) = (|a|^2 + |b|^2, 0 ) = |a|^2 + |b|^2 — рівна нулю тільки при a=b=0.
  • Ділення \ r / q визначається як \ \frac{\bar{r} q}{|q|^2} чи \ \frac{q\bar{r} }{|q|^2} — отже з попередньої властивості випливає відсутність дільників нуля.
  • Якщо для чисел виконується \ \overline{ab} = \bar{b} \cdot \bar{a}, то це виконується і для впорядкованих пар:
\ \overline{(a, b)(c, d)} = (\bar{c} \bar{a} - \bar{b} d, -d a - b \bar{c}) = (\bar{c}, -d) (\bar{a}, -b) = \overline{(c, d)} \cdot \overline{(a, b)}.
\ |r q|^2 = (r q)\overline{(r q)} = (r q)(\bar{q} \bar{r}) = r (q \bar{q}) \bar{r} = |r|^2 \cdot |q|^2.

Узагальненя Шафера[ред.ред. код]

Всі попередні формули будували гіперкомплексні системи з квадратом уявної одиниці рівним (-1). Але при створенні пар можна брати числа що мають квадрат уявної одиниці рівним як (+1) так і (-1) і змінювати закон множення пар (дивись Алгебри Кліффорда).

Джерела[ред.ред. код]

  • И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. - Москва, "Наука". - 1973.