Процедура Келі-Діксона

Процедура Келі-Діксона (процедура подвоєння) — це рекурсивна процедура побудови алгебр над полем дійсних чисел, з подвоєнням розмірності на кожному кроці.

Дана процедура дозволяє визначити комплексні числа, кватерніони, октави, седеніони і т.д.

Також використовується в теоремі Гурвіца для знаходження всіх нормованих алгебр з одиницею.

Кватерніони

Довільний кватерніон $\ q = a + bi + cj + dk$ можна представити у вигляді $\ q = (a + bi) + (c + di)j$

або $\ q = z_1 + z_2 j, \quad z_1 = a + bi, \quad z_2 = c + di,$

де $\ z_1, z_2$ — комплексні числа, оскільки $\ i^2 = -1$ виконується як для комплексних чисел так і для кватерніонів.

Позначимо ще один кватерніон як

$\ r = w_1 + w_2 j.$

Перемноживши кватерніони, отримаємо:

$\ qr = (z_1 + z_2 j)(w_1 + w_2 j) = z_1 w_1 + z_1 w_2 j + z_2 j w_1 + z_2 j w_2 j$ — дужки розкрили, бо множення кватерніонів асоціативне.

Оскільки $\ zj = j \bar{z}, \; zw = wz,$

то переставимо множники і отримаємо:

$\ qr = (z_1 w_1 - \bar{w_2} z_2) + (w_2 z_1 + z_2 \bar{w_1}) j.$

Отже кватерніони можна визначити як вирази, виду $\ z_1 + z_2 j$, що задовільняють вищенаведену формулу множення.

Дана формула цікава ще й тим, що вона збігається з формулою множення комплексних чисел.

Загальний випадок

Якщо для деяких чисел $\ a$ та $\ b$ існують поняття: множення, ділення, спряженого числа і норми числа як $\ |a|^2 = a \bar{a},$

то ці поняття можна ввести і для впорядковиних пар чисел $\ (a, b)$:

• $\ (a, b)(c, d) = (a c - \bar{d} b, d a + b \bar{c})$ — закон множення пар,

• $\ \overline{(a, b)} = (\bar{a}, -b)$ — спряжена пара.

Властивості

• Норма впорядкованої пари:

$\ |(a, b)|^2 = (a, b) \overline{(a, b)} = (a, b) (\bar{a}, -b) = (a \bar{a} + b \bar{b}, b a - b a) = (|a|^2 + |b|^2, 0 ) = |a|^2 + |b|^2$ — рівна нулю тільки при a=b=0.

• Ділення $\ r / q$ визначається як $\ \frac{\bar{r} q}{|q|^2}$ чи $\ \frac{q\bar{r} }{|q|^2}$ — отже з попередньої властивості випливає відсутність дільників нуля.

• Якщо для чисел виконується $\ \overline{ab} = \bar{b} \cdot \bar{a},$ то це виконується і для впорядкованих пар:

$\ \overline{(a, b)(c, d)} = (\bar{c} \bar{a} - \bar{b} d, -d a - b \bar{c}) = (\bar{c}, -d) (\bar{a}, -b) = \overline{(c, d)} \cdot \overline{(a, b)}.$

• Якщо для впорядкованих пар виконується попередня умова та умова альтернативності, то вони утворюють нормовану алгебру, оскільки:

$\ |r q|^2 = (r q)\overline{(r q)} = (r q)(\bar{q} \bar{r}) = r (q \bar{q}) \bar{r} = |r|^2 \cdot |q|^2.$

Узагальненя Шафера

Всі попередні формули будували гіперкомплексні системи з квадратом уявної одиниці рівним (-1). Але при створенні пар можна брати числа що мають квадрат уявної одиниці рівним як (+1) так і (-1) і змінювати закон множення пар (дивись Алгебри Кліффорда).

Джерела

• И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. - Москва, "Наука". - 1973.