Псевдогрупа перетворень

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Псевдогрупа перетворень гладкого многовида M — сімейство дифеоморфізмів відкритих підмножин многовида M у M, замкнуте відносно композиції відображень, переходу до оберненого відображення, а також звуження та склейки відображень.

Точне означення[ред.ред. код]

Псевдогрупа перетворень \Gamma многовида M складається з локальних перетворень, тобто пар виду p=(D_p,\bar p), де D_p — відкрита підмножина в M, а \bar p — дифеоморфізм D_p\to M, причому передбачається, що

  1. p,q\in\Gamma \Rightarrow p\circ q=(\bar q^{-1}(D_p\cap \bar q(D_q)),\bar p\circ \bar q)\in \Gamma
  2. p\in\Gamma\Rightarrow p^{-1}=(\bar p(D_p),\bar p^{-1})\in\Gamma
  3. (M,id) \in \Gamma,
  4. якщо p — дифеоморфізм відкритої підмножини D у M і D=\cup_\alpha D_\alpha, де D_\alpha — відкриті підмножини в M, то (D,p)\in \Gamma \Longleftrightarrow (D_\alpha,p)\in \Gamma для будь-якого \alpha.

Приклади[ред.ред. код]

  • Довільна гладка дія групи на многовиді.
  • Нехай M гладкий многовид і на якому гладко діє група G тоді «звуження» дії на довільну відкриту множину \Omega є псевдогрупою перетворень. Точніше p=(D_p,\bar p) міститься в псевдогрупі якщо \bar p\in G і D_p, \bar p(D_p)\subset \Omega.

Зв'язані означення[ред.ред. код]

Так само, як група перетворень, псевдогрупа перетворень визначає на M відношення еквівалентності; класи еквівалентності називаються її орбітами.

Типи псевдогруп[ред.ред. код]

Псевдогрупа перетворень \Gamma многовида M називається

  • транзитивною, якщо M — її єдина орбіта,
  • примітивною, якщо у M немає нетривіальних гладких \Gamma-інваріантних шарувань (в іншому випадку псевдогрупа перетворень називається імпримітивною).

Варіаціїї та узагальнення[ред.ред. код]

Видозмінюючи належним чином це означення, можна означити псевдогруппу перетворень довільного топологічного простору або навіть довільної множини.

Література[ред.ред. код]

  • Виноградов И. М. (ред.) — Математическая энциклопедия. Том 4. — М.: Сов. энциклопедия, 1977 — с. 730–732.