Псевдогрупа перетворень

Псевдогрупа перетворень гладкого многовида $M$ — сімейство дифеоморфізмів відкритих підмножин многовида $M$ у $M$, замкнуте відносно композиції відображень, переходу до оберненого відображення, а також звуження та склейки відображень.

Точне означення

Псевдогрупа перетворень $\Gamma$ многовида $M$ складається з локальних перетворень, тобто пар виду $p=(D_p,\bar p)$, де $D_p$ — відкрита підмножина в $M$, а $\bar p$ — дифеоморфізм $D_p\to M$, причому передбачається, що

1. $p,q\in\Gamma \Rightarrow p\circ q=(\bar q^{-1}(D_p\cap \bar q(D_q)),\bar p\circ \bar q)\in \Gamma$
2. $p\in\Gamma\Rightarrow p^{-1}=(\bar p(D_p),\bar p^{-1})\in\Gamma$
3. $(M,id) \in \Gamma$,
4. якщо $p$ — дифеоморфізм відкритої підмножини $D$ у $M$ і $D=\cup_\alpha D_\alpha$, де $D_\alpha$ — відкриті підмножини в $M$, то $(D,p)\in \Gamma \Longleftrightarrow (D_\alpha,p)\in \Gamma$ для будь-якого $\alpha$.

Приклади

• Довільна гладка дія групи на многовиді.
• Нехай $M$ гладкий многовид і на якому гладко діє група $G$ тоді «звуження» дії на довільну відкриту множину $\Omega$ є псевдогрупою перетворень. Точніше $p=(D_p,\bar p)$ міститься в псевдогрупі якщо $\bar p\in G$ і $D_p, \bar p(D_p)\subset \Omega$.

Зв'язані означення

Так само, як група перетворень, псевдогрупа перетворень визначає на $M$ відношення еквівалентності; класи еквівалентності називаються її орбітами.

Типи псевдогруп

Псевдогрупа перетворень $\Gamma$ многовида $M$ називається

• транзитивною, якщо $M$ — її єдина орбіта,
• примітивною, якщо у $M$ немає нетривіальних гладких $\Gamma$-інваріантних шарувань (в іншому випадку псевдогрупа перетворень називається імпримітивною).

Варіаціїї та узагальнення

Видозмінюючи належним чином це означення, можна означити псевдогруппу перетворень довільного топологічного простору або навіть довільної множини.

Література

• Виноградов И. М. (ред.) — Математическая энциклопедия. Том 4. — М.: Сов. энциклопедия, 1977 — с. 730–732.