Псевдоевклідів простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Псевдоевклідів простір — скінченномірний дійсний векторний простір або афінний простір з невиродженним індефінітним скалярним добутком, яке називають також індефінітною метрикою. Індефінітна метрика не є метрикою у сенсі визначення метричного простору, а являє собою частковий випадок метричного тензора.

Найважливішим прикладом псевдоевклідового простору є простір Мінковського.

Сигнатура псевдоевклідового простору[ред.ред. код]

Обравши відповідний базис векторного псевдоевклідового простору L, завжди можна домогтися того, щоб індефінітний скалярний добуток цього простору мав вигляд


\langle x, y \rangle = x_1y_1 +\ldots +x_my_m - x_{m+1}y_{m+1} -\ldots- x_ny_n,

де x=(x_1,\ldots,x_n) та y=(y_1,\ldots,y_n) — вектори простору L. Зокрема, скалярний квадрат вектора має вигляд


\langle x, x \rangle = x_1^2 +\ldots +x_m^2 - x_{m+1}^2 -\ldots- x_n^2,

і може бути як додатнім, так і від'ємним числом, а також нулем (навіть для ненульового вектора x). Відповідно, довжина вектора x, визначена рівністю


\|x\| =\sqrt{\langle x,\;x\rangle},

є або дійсним додатнім, або чисто уявним числом, або нулем.

Аналогічно, вибором репера завжди можна домогтися того, щоб відстань між точками n-вимірного афінного псевдоевклідового простору з координатами (x_1,\ldots,x_n) і (y_1,\ldots,y_n) записувалось у вигляді


d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\ldots +(x_m-y_m)^2-(x_{m+1}-y_{m+1})^2-\ldots-(x_n-y_n)^2}.

Базиси і репери з такою властивістю називаються ортонормованими.

Пара чисел (m,n-m) (які задають кількість базисних векторів дійсної і чисто уявної довжини, відповідно) не залежить від вибору ортонормованного базису або репера (закон інерції Сільвестра) і називається сигнатурою псевдоевклідового простору.

Псевдоевклідові простори з різними сигнатурами неізометричні один одному. Однак простір з сигнатурою (m,n-m) може бути перетворений в простір з сигнатурою (n-m,m) зміною знака скалярного добутку, і тому відмінності між такими просторами зазвичай не проводять: зокрема, простір Мінковського в різних джерелах визначається і як простір сигнатури (1,3), і як простір сигнатури (3,1). Таким чином, кожному виміру n відповідає \left[n/2\right] (де прямі дужки означають взяття цілої частини) різних n-вимірних псевдоевклідових просторів.

Ізотропні вектори, напрямки, конуси[ред.ред. код]

Важливою особливістю просторів з індефінітной метрикою є наявність ненульових векторів, які мають нульову довжину. Такі вектори (а також прямі, напрямними векторами яких вони є) називаються ізотропними або світлоподібними (останнє найменування частіше використовується у фізиці, воно пов'язане з простором Мінковського). Підпростір векторного псевдоевклідова простору називається ізотропним, якщо він повністю складається з ізотропних векторів.

Множина всіх ізотропних векторів псевдоевклідова векторного простору називається ізотропним конусом (або світловим конусом) цього простору. Світловий конус простору сигнатуры (1,n-1) не має «граней», тобто ізотропних підпросторів вимірності більше 1.[1]

Множина всіх ізотропних векторів псевдоевклідова афінного простору, відкладених від довільної фіксованої точки, називається ізотропним конусом (або світловим конусом) цього простору в цій точці. Ця множина дійсно є конусом (в узагальненому сенсі цього поняття) з вершиною в цій точці. Ізотропні конуси псевдоевклидова афінного простору з вершинами в різних точках можна отримати один з одного за допомогою паралельного перенесення.

Зокрема, псевдоевклідова векторна площина має рівно два ізотропних напрямки. У ортонормированому базисі, де скалярний квадрат вектора приймає вигляд \langle x, x \rangle = x_1^2 - x_2^2, ізотропні напрямки — прямі x_1 \pm x_2=0, тому ізотропний конус складається із об'єднання цих двох прямих.

Тривимірний псевдоевклідовий векторний простір має нескінченне число ізотропних напрямів. У ортонормированном базисі, де скалярний квадрат вектора приймає вигляд \langle x, x \rangle = x_1^2 + x_2^2 - x_3^2, ізотропні напрямки — це усі прямі, що лежать на ізотропному конусі x_1^2 + x_2^2 - x_3^2=0, який в даному випадку являє собою справжній конус.

Підпростори псевдоевклідова простору[ред.ред. код]

Взаємне розташування площини та ізотропного конуса в тривимірному псевдоевклідовому просторі

Підпростір псевдоевклідова простору з сигнатурою (n-m,m) не обов'язково є псевдоевклідовим простором з тією ж сигнатурою; більше того, воно може бути і евклідовим простором. Наприклад, в тривимірному псевдоевклідовому просторі з сигнатурою (2,1) площина \Pi може бути або псевдоевклідовим простором з сигнатурою (1,1), або евклідовим, або мати вироджений скалярний добуток. Геометрично ці три випадки визначаються розташуванням площини \Pi відносно ізотропного конуса (див. рисунок). Саме площина \Pi є псевдоевклідовою, якщо вона перетинає ізотропний конус по двом різним прямим (ізотропним напрямам); обмеження скалярного добутку на площину \Pi виродждене, якщо \Pi дотикається ізотропного конуса, тобто перетинається з ним лише по одній прямій; нарешті, площина \Pi є евклідовою, якщо вона має з ізотропним конусом єдину спільну точку (вершину конуса).

Кола та сфери[ред.ред. код]

З точки зору геометрії псевдоевклідової площини, колами довільного ненульового (дійсного або чисто уявного) радіуса є гіперболи. Аналогічно, в тривимірному псевдоевклідовом просторі сигнатури (2,1) сферами ненульового дійсного радіуса є однопорожнинні гіперболоїди, а сферами ненульового чисто уявного радіуса — двопорожнинні гіперболоїди. Аналогічна ситуація в просторах більшої кількості вимірів, наприклад, в чотиривимірному просторі сигнатури (3,1).

За своїми геометричним властивостям кожна з двох «половин» гіперсфери уявного радіуса в n+1-вимірному псевдоевклідовому просторі сигнатури (n,1) є n-вимірний простір Лобачевського. Простори вимірності k (від 0 до n-1) в цьому просторі Лобачевського відповідають підпросторам вимірності k+1 вихідного псевдоевклідова простору, які проходять через початок координат і перетинають гіперсферу уявного радіуса, а його рухи відповідають перетворенням Лоренца.

Зворотна нерівність Коші — Буняковського[ред.ред. код]

В псевдоевклідовому просторі з сигнатурою (n-1,1) для всіх векторів уявної довжини виконана нерівність, зворотня нерівності Коші-Буняковського для евклідових просторів:[1]


\langle x, x \rangle < 0, \ \langle y, y \rangle < 0 \ \Rightarrow \ 
\langle x, y \rangle^2 \geqslant \langle x, x \rangle \cdot \langle y, y \rangle.

Застосування у фізиці[ред.ред. код]

Найважливішим окремим випадком псевдоевклідового простору є простір Мінковського, що використовується в спеціальної теорії відносності в якості простора-часу, в якому метрика сигнатури (1,3) Лоренц-інваріантна (тільки псевдоевклідова метрика може бути Лоренц-інваріантною), а для часоподібності двох подій довжина (в сенсі такої метрики) кривої, що з'єднує ці події і теж усюди часоподібній, є час між ними, виміряне по годиннику, рух якого описується в просторі-часі цієї кривої. Ізотропні напрямки є напрямами поширення світла і називаються також нульовими або світлоподібними.

Теоретична фізика розглядає псевдоевклідові простори й іншої вимірності, однак зазвичай метрика в них має сигнатуру (1,n) ,тобто це простори з однією часовою координатою та n просторовими.

Приклади[ред.ред. код]

\lVert z \rVert = z z^* = z^* z = x^2 - y^2.

Властивості[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Walter Noll (1964) «Euclidean geometry and Minkowskian chronometry», American Mathematical Monthly 71:129—44.
  • Poincaré, Science and Hypothesis 1906 referred to in the book B.A. Rosenfeld, A History of Non-Euclidean Geometry Springer 1988 (английский перевод) с.266.
  • Szekeres, Peter (2004). A course in modern mathematical physics: groups, Hilbert space, and differential geometry. Cambridge University Press. ISBN 0521829607. 
  • Александров П. С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я. — Энциклопедия элементарной математики. Том V. Геометрия
  • Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ, — Будь-яке видання.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Будь-яке видання.
  • Иванов А. О., Тужилин А. А. Лекции по классической дифференциальной геометрии, — Логос, Москва, 2009.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. а б Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. VII, пар. 7, — Физматлит, Москва, 2009.