Псевдоевклідів простір

Псевдоевклідів простір — скінченномірний дійсний векторний простір або афінний простір з невиродженним индефінітним скалярним добутком, яке називають також индефінітною метрикою. Индефінітна метрика не є метрикою у сенсі визначення метричного простору, а являє собою частковий випадок метричного тензора.

Найважливішим прикладом псевдоевклідового простору є простір Мінковського.

Сигнатура псевдоевклідового простору

Обравши відповідний базис векторного псевдоевклідового простору $L$, завжди можна домогтися того, щоб індефінітний скалярний добуток цього простору мав вигляд

$\langle x, y \rangle = x_1y_1 +\ldots +x_my_m - x_{m+1}y_{m+1} -\ldots- x_ny_n,$

де $x=(x_1,\ldots,x_n)$ та $y=(y_1,\ldots,y_n)$ — вектори простору $L$. Зокрема, скалярний квадрат вектора має вигляд

$\langle x, x \rangle = x_1^2 +\ldots +x_m^2 - x_{m+1}^2 -\ldots- x_n^2,$

і може бути як додатнім, так і від'ємним числом, а також нулем (навіть для ненульового вектора $x$). Відповідно, довжина вектора $x$, визначена рівністю

$\|x\| =\sqrt{\langle x,\;x\rangle},$

є або дійсним додатнім, або чисто уявним числом, або нулем.

Аналогічно, вибором репера завжди можна домогтися того, щоб відстань між точками n-вимірного афінного псевдоевклідового простору з координатами $(x_1,\ldots,x_n)$ і $(y_1,\ldots,y_n)$ записувалось у вигляді

$d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\ldots +(x_m-y_m)^2-(x_{m+1}-y_{m+1})^2-\ldots-(x_n-y_n)^2}.$

Базиси і репери з такою властивістю називаються ортонормованими.

Пара чисел $(m,n-m)$ (які задають кількість базисних векторів дійсної і чисто уявної довжини, відповідно) не залежить від вибору ортонормованного базису або репера (закон інерції Сільвестра) і називається сигнатурою псевдоевклідового простору.

Псевдоевклідові простори з різними сигнатурами неізометричні один одному. Однак простір з сигнатурою $(m,n-m)$ може бути перетворений в простір з сигнатурою $(n-m,m)$ зміною знака скалярного добутку, і тому відмінності між такими просторами зазвичай не проводять: зокрема, простір Мінковського в різних джерелах визначається і як простір сигнатури $(1,3)$, і як простір сигнатури $(3,1)$. Таким чином, кожному виміру $n$ відповідає $\left[n/2\right]$ (де прямі дужки означають взяття цілої частини) різних $n$-вимірних псевдоевклідових просторів.

Ізотропні вектори, напрямки, конуси

Важливою особливістю просторів з індефінітной метрикою є наявність ненульових векторів, які мають нульову довжину. Такі вектори (а також прямі, напрямними векторами яких вони є) називаються ізотропними або світлоподібними (останнє найменування частіше використовується у фізиці, воно пов'язане з простором Мінковського). Підпростір векторного псевдоевклідова простору називається ізотропним, якщо він повністю складається з ізотропних векторів.

Множина всіх ізотропних векторів псевдоевклідова векторного простору називається ізотропним конусом (або світловим конусом) цього простору. Світловий конус простору сигнатуры $(1,n-1)$ не має «граней», тобто ізотропних підпросторів вимірності більше 1.

Множина всіх ізотропних векторів псевдоевклідова афінного простору, відкладених від довільної фіксованої точки, називається ізотропним конусом (або світловим конусом) цього простору в цій точці. Ця множина дійсно є конусом (в узагальненому сенсі цього поняття) з вершиною в цій точці. Ізотропні конуси псевдоевклидова афінного простору з вершинами в різних точках можна отримати один з одного за допомогою паралельного перенесення.

Зокрема, псевдоевклідова векторна площина має рівно два ізотропних напрямки. У ортонормированому базисі, де скалярний квадрат вектора приймає вигляд $\langle x, x \rangle = x_1^2 - x_2^2,$ ізотропні напрямки — прямі $x_1 \pm x_2=0,$ тому ізотропний конус складається із об'єднання цих двох прямих.

Тривимірний псевдоевклідовий векторний простір має нескінченне число ізотропних напрямів. У ортонормированном базисі, де скалярний квадрат вектора приймає вигляд $\langle x, x \rangle = x_1^2 + x_2^2 - x_3^2,$ ізотропні напрямки — це усі прямі, що лежать на ізотропному конусі $x_1^2 + x_2^2 - x_3^2=0,$ який в даному випадку являє собою справжній конус.

Підпростори псевдоевклідова простору

Взаємне розташування площини та ізотропного конуса в тривимірному псевдоевклідовому просторі

Підпростір псевдоевклідова простору з сигнатурою $(n-m,m)$ не обов'язково є псевдоевклідовим простором з тією ж сигнатурою; більше того, воно може бути і евклідовим простором. Наприклад, в тривимірному псевдоевклідовому просторі з сигнатурою $(2,1)$ площина $\Pi$ може бути або псевдоевклідовим простором з сигнатурою $(1,1)$, або евклідовим, або мати вироджений скалярний добуток. Геометрично ці три випадки визначаються розташуванням площини $\Pi$ відносно ізотропного конуса (див. рисунок). Саме площина $\Pi$ є псевдоевклідовою, якщо вона перетинає ізотропний конус по двом різним прямим (ізотропним напрямам); обмеження скалярного добутку на площину $\Pi$ виродждене, якщо $\Pi$ дотикається ізотропного конуса, тобто перетинається з ним лише по одній прямій; нарешті, площина $\Pi$ є евклідовою, якщо вона має з ізотропним конусом єдину спільну точку (вершину конуса).

Кола та сфери

З точки зору геометрії псевдоевклідової площини, колами довільного ненульового (дійсного або чисто уявного) радіуса є гіперболи. Аналогічно, в тривимірному псевдоевклідовом просторі сигнатури $(2,1)$ сферами ненульового дійсного радіуса є однопорожнинні гіперболоїди, а сферами ненульового чисто уявного радіуса — двопорожнинні гіперболоїди. Аналогічна ситуація в просторах більшої кількості вимірів, наприклад, в чотиривимірному просторі сигнатури (3,1).

За своїми геометричним властивостям кожна з двох «половин» гіперсфери уявного радіуса в $n+1$-вимірному псевдоевклідовому просторі сигнатури $(n,1)$ є $n$-вимірний простір Лобачевського. Простори вимірності $k$ (від $0$ до $n-1$) в цьому просторі Лобачевського відповідають підпросторам вимірності $k+1$ вихідного псевдоевклідова простору, які проходять через початок координат і перетинають гіперсферу уявного радіуса, а його рухи відповідають перетворенням Лоренца.

Зворотна нерівність Коші — Буняковського

В псевдоевклідовому просторі з сигнатурою $(n-1,1)$ для всіх векторів уявної довжини виконана нерівність, зворотня нерівності Коші-Буняковського для евклідових просторів:

$\langle x, x \rangle < 0, \ \langle y, y \rangle < 0 \ \Rightarrow \ \langle x, y \rangle^2 \geqslant \langle x, x \rangle \cdot \langle y, y \rangle.$

Застосування у фізиці

Найважливішим окремим випадком псевдоевклідового простору є простір Мінковського, що використовується в спеціальної теорії відносності в якості простора-часу, в якому метрика сигнатури (1,3) Лоренц-інваріантна (тільки псевдоевклідова метрика може бути Лоренц-інваріантною), а для часоподібності двох подій довжина (в сенсі такої метрики) кривої, що з'єднує ці події і теж усюди часоподібній, є час між ними, виміряне по годиннику, рух якого описується в просторі-часі цієї кривої. Ізотропні напрямки є напрямами поширення світла і називаються також нульовими або світлоподібними.

Теоретична фізика розглядає псевдоевклідові простори й іншої вимірності, однак зазвичай метрика в них має сигнатуру $(1,n)$ ,тобто це простори з однією часовою координатою та n просторовими.

Приклади

• Для евклідового простору завжди $\ k=n,$ тому квадратична форма є додатноозначеною.
• Важливим псевдоевклідовим простором є простір Мінковського, для якого $\ n=4, k=3.$
• Найпростішим псевдоевклідовим простором є площина подвійних чисел: z = x + y j з квадратичною формою

$\lVert z \rVert = z z^* = z^* z = x^2 - y^2.$

Властивості

• $\ q(x)$ не є нормою, оскільки вона не є невід'ємною і для неї не виконується нерівність трикутника.
• В псевдоевклідовому просторі, на відміну від евкідового простору, існують не нульові вектори з $q(x) \leqslant 0.$

Література

• Walter Noll (1964) «Euclidean geometry and Minkowskian chronometry», American Mathematical Monthly 71:129—44.
• Poincaré, Science and Hypothesis 1906 referred to in the book B.A. Rosenfeld, A History of Non-Euclidean Geometry Springer 1988 (английский перевод) с.266.
• Szekeres, Peter (2004). A course in modern mathematical physics: groups, Hilbert space, and differential geometry. Cambridge University Press. ISBN 0521829607. 
• Александров П. С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я. — Энциклопедия элементарной математики. Том V. Геометрия
• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ, — Будь-яке видання.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Будь-яке видання.
• Иванов А. О., Тужилин А. А. Лекции по классической дифференциальной геометрии, — Логос, Москва, 2009.

Див. також

• Евклідів простір
• Перетворення Лоренца