Пуассонівський процес

Пуассо́нівський проце́с — це поняття теорії випадкових процесів, що моделює кількість випадкових подій, що стались, якщо тільки вони відбуваються зі сталим середнім значенням інтервалів між їхніми настаннями.

У випадку вибраних одиниць вимірювання, це середнє значення дорівнює $\frac{1}{\lambda}$ кількостей подій за одиницю часу, де λ — параметр процесу. Цей параметр часто називають інтенсивністю пуассонівського процесу.

Якщо розглянути послідовність часових інтервалів між подіями пуассонівського процесу, то ця послідовність буде послідовністю незалежних випадкових величин, яка має назву пуассонівського потоку.

Означення

Випадковий процес з неперервним і невід'ємним часом та дискретним станами називається пуасонівським, якщо:

• 1) він є процесом з незалежними приростами;
• 2) для нього виконується однорідність по часу;
• 3) його часовий переріз при t=0 являє собою випадкову величину, тотожньо рівну нулю (ще кажуть: випадковий процес починається в нулі);
• 4) при h прямує до 0 вірними будуть твердження:

• а) ймовірність того, що у момент часу h випадковий процес набуде значення 0, дорівнює 1-λh+o(h);
• б) ймовірність того, що у момент часу h випадковий процес набуде значення 1, дорівнює λh+o(h);
• в) ймовірність того, що у момент часу h випадковий процес набуде значення 2, дорівнює o(h);

де o(h) — величина, порядок малості якої вищий, ніж h; λ — параметр, що визначає процес.

Задачі, що призводять до даного поняття

• Задача 1 (про страхову компанію). Розглянемо роботу страхової компанії. Нехай клієнти щороку роблять страхові внески, а компанія робить виплати; кількість клієнтів вважається сталою і рівною N; страхові події вважаються незалежними одна від одної, причому ймовірність настання страхової події у одного клієнта протягом року дорівнює a. Завдання: промоделювати кількість виплат з допомогою пуассонівського процесу.

Розв'язання. Оскільки у першому наближенні ймовірність настання однієї страхової події на інтервалі [0,h] дорівнює N·a·h при h→0, ймовірність ненастання страхових подій на цьому інтервалі дорівнює 1-N·a·h, а ймовірність настання на цьому інтервалі двох чи більше подій — нескінченно мала порівняно з довжиною інтервалу, то легко можна зробити висновок, що кількість виплат зручно моделюється пуассонівським процесом з інтенсивністю N·a.

• Задача 2 (про надходження заявок зі сталою інтенсивністю). Нехай на станцію таксі з сьомої до дев'ятої години ранку надходять заявки від клієнтів, причому інтенсивінсть цих заявок — є величиною приблизно сталою: всередньому надходить одна заявка за n секунд. Завдання: промоделювати кількість заявок з допомогою пуассонівського процесу.

Розв'язання. Міркуваннями розв'язання до попередньої задачі можна встановити, що кількість заявок доцільно моделювати пуассонівським процесом з інтенсивністю $\frac{1}{n}$.

Властивості пуассонівського процесу

Часовий переріз пуассонівського процесу з параметром λ для моменту часу t є випадковою величиною, розподіленою за законом Пуассона з параметром λt.

Література

• Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986. — 528 с.
• ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М.: Высшая школа, 1990. — 376 с.
• Кингман Дж. Пуассоновские процессы. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

Див. також

• Вінерівський процес
• Марківський процес
• Розподіл Пуассона