Пучок (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Пучок — абстрактний математичний об'єкт, використання якого забезпечує єдиний підхід для встановлення зв'язків між локальними і глобальними властивостями топологічних просторів (зокрема геометричних об'єктів) і широко використовується в сучасній алгебрі, геометрії, топології і аналізі.

Визначення[ред.ред. код]

Передпучок[ред.ред. код]

На топологічному просторі X заданий передпучок \mathcal F об'єктів, якщо:

\rho_{WU}=\rho_{WV}\circ\rho_{VU}

Якщо об'єкти \mathcal C є множинами, то елементи \mathcal{F}(U) називаються перерізами пучка над множиною U.

Іншими словами, передпучок — контраваріантний функтор з категорії відкритих підмножин X і їх вкладень в деяку категорію.

Пучок[ред.ред. код]

Передпучок \mathcal F на X називається пучком (множин, абелевих груп, кілець, модулів над кільцем і т. п.) якщо для довільної відкритої множини V простору X, її відкритого покриття сімейством відкритих множин \{V_i\}_I, і для довільних перерізів \{s_i\}_I передпучка \mathcal F над множинами V_i, з того що :

s_i|_{V_i\cap V_j}=s_j|_{V_i\cap V_j}

випливає існування єдиного перерізу s передпучка \mathcal F над V такого що : s|_{V_i}=s_i.

Замітка. Визначення пучка існує і у випадку коли об'єктами категорії не є множини. Проте цей випадок вимагає глибших понять теорії категорій і не часто використовується у застосуваннях.

Приклади[ред.ред. код]

Пучки функцій[ред.ред. код]

Одним з найпростіших і найважливіших прикладів є пучок неперервних функцій на топологічному просторі X. Обмеження неперервної функції на відкриту підмножину є неперервною функцією на цій підмножині, і функція, задана частково на відкритих підмножинах, може бути відновлена на їх об'єднанні.

Точніше, для кожної відкритої підмножини U простору X позначимо F(U) множину всіх неперервних дійснонозначних функцій f: X \to \mathbb{R}. Маючи відкриту множину V, що міститься в U, і функції f з F(U), ми можемо звузити область визначення функції f до множини V і одержати функцію f |_V. Обмеження f |_V є неперервною функцією на V, отже, воно є елементом множини F(V). Таким чином, визначено відображення обмеження \rho_{VU}: F(U)\to F(V).

Припустимо, що задана узгоджена система неперервних функцій f_i: U_i \to \mathbb{R}, i \in I. Це означає, що обмеження функцій fi і fj на множині U_i\cap U_j повинні бути рівними. Визначимо тепер функцію f: U \to \mathbb{R} таким чином: оскільки U - об'єднання всіх Ui, кожна точка x з U покрита множиною Ui для деякого i. Визначимо значення функції f в точці x рівним fi(x). Це визначення коректно: якщо x лежить також і в Uj, то по умові узгодженості fi(x)= fj(x), тому все одно, яку з цих функцій користуватися для визначення f(x). При цьому функція f неперервна в точці x, оскільки в її околі Ui вона рівна неперервній функції fi(x). У результаті функція f неперервна в кожній точці з U, тобто неперервна в U. Більш того, f — єдина неперервна функція, обмеження якої на області Ui рівне fi, оскільки функція повністю визначається своїми значеннями в точках.

Насправді, одержаний пучок є не просто пучком множин. Оскільки неперервні функції можна поточково додавати і одержувати знову неперервні функції, цей пучок також є пучком абелевих груп. Оскільки їх також можна перемножувати, цей пучок є пучком комутативних кілець. Оскільки неперервні функції на множині утворюють векторний простір над \R, то цей пучок — пучок алгебр над \R.

Морфізми пучків[ред.ред. код]

Оскільки пучки містять дані, співвіднесені кожній відкритій підмножині простори X, морфізм пучків визначається як набір відображень, для кожної відкритої множини, що задовольняє деяким умовам узгодженості.

Морфізми пучків над одним простором[ред.ред. код]

У цьому розділі всі пучки визначені над простором X і приймають значення у фіксованій категорії C (коли мова піде про ядро і коядро морфізмів, передбачається, що Cабелева категорія).

Нехай \mathcal{F} і \mathcal{G} — два такі пучки. Морфізм C-пучків на X \varphi\colon \mathcal{G} \to \mathcal{F} зіставляє кожній відкритій множині U простори X морфізм \varphi_U\colon\mathcal{G}(U) \to \mathcal{F}(U), так що всі ці морфізми узгоджено один з одним і відображеннями обмеження в обох пучках. Іншими словами, для кожної відкритої підмножини U і відкритої множини V має місце комутативна діаграма:

SheafMorphism-01.png

Ця умова узгодженості означає, що кожному перетину s пучка F над відкритою множиною U зіставлено деякий переріз \varphi_U(s) над U пучка G, і їх обмеження на відкриту підмножину V безлічі U зв'язані морфізмом \varphi_V. (Обмеження на V \varphi_U-образа перерізу s рівне \varphi_V-образу його обмеження на V.)

Простий факт, що морфізм пучків є ізоморфізмом (тобто має обернений морфізм) тоді і тільки тоді, коли всі морфізми \varphi_U є ізоморфізмами. Те ж вірно для мономорфізмів і не вірно для епіморфізмів. Це пов'язано з тим, що ядро морфізму пучків завжди є пучком, а образ і коядро можуть і не бути.

Морфізми пучків над різними просторами[ред.ред. код]

Далі пучки приймають значення у фіксованій категорії C, але можуть бути визначені над різними просторами.

Нехай X і Y — топологічні простори із заданими на них пучками OX і OY відповідно. Морфізм пари (X, OX) в (Y, OY) задається за допомогою наступних даних:

  • Неперервне відображення f : XY
  • сімейство C-морфізмів φV : OY(V)→ OX(f -1(V)) для кожної відкритої підмножини V простору Y, які комутують з відображеннями обмеження. Тобто, якщо V1V2 - дві відкриті підмножини Y, наступна діаграма повинна бути комутативною (вертикальні стрілки — морфізми обмеження на підмножину):
LocallyRingedSpace-01.png

Це визначення годиться і для визначення морфізму передпучків над різними просторами.

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Годеман Р., Алгебраическая топология и теория пучков, пер. с франц., М., 1961;
  • Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961;
  • Bredon, Glen E. (1997), Sheaf theory, Graduate Texts in Mathematics, 170 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94905-5
  • Hirzebruch, Friedrich (1995), Topological methods in algebraic geometry, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58663-0
  • Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (1994), Sheaves on manifolds, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 292, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-51861-7
  • Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1994), Sheaves in geometry and logic, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97710-2
  • Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics. Second Series (The Annals of Mathematics, Vol. 61, No. 2) 61 (2): 197–278, doi:10.2307/1969915, MR0068874, ISSN 0003-486X, http://www.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf
  • Swan, R. G. (1964), The Theory of Sheaves, University of Chicago Press
  • Tennison, B. R. (1975), Sheaf theory, Cambridge University Press, MR0404390