Пучок (математика)

Пучок — абстрактний математичний об'єкт, використання якого забезпечує єдиний підхід для встановлення зв'язків між локальними і глобальними властивостями топологічних просторів (зокрема геометричних об'єктів) і широко використовується в сучасній алгебрі, геометрії, топології і аналізі.

Визначення

Передпучок

На топологічному просторі X заданий передпучок $\mathcal F$ об'єктів, якщо:

• Кожній відкритій підмножині $U \subset X$ співставлений певний об'єкт деякої категорії $\mathcal C$ (найчастіше деяка множина, абелева група, кільце, модуль над кільцем і т. п.) $\mathcal{F}(U) \in \mathcal{C}$.
• Для кожної пари відкритих множин $V \subset U$ визначений морфізм обмеження $\rho_{VU}:\mathcal{F}(U)\rightarrow \mathcal{F}(V)$ такий, що $\rho_{VU}$ — тотожний морфізм об'єкта $\mathcal{F}(U)$ і для кожної трійки відкритих множин $W\subset V\subset U$ виконується:

$\rho_{WU}=\rho_{WV}\circ\rho_{VU}$

Якщо об'єкти $\mathcal C$ є множинами, то елементи $\mathcal{F}(U)$ називаються перерізами пучка над множиною U.

Іншими словами, передпучок — контраваріантний функтор з категорії відкритих підмножин X і їх вкладень в деяку категорію.

Пучок

Передпучок $\mathcal F$ на X називається пучком (множин, абелевих груп, кілець, модулів над кільцем і т. п.) якщо для довільної відкритої множини V простору X, її відкритого покриття сімейством відкритих множин $\{V_i\}_I$, і для довільних перерізів $\{s_i\}_I$ передпучка $\mathcal F$ над множинами $V_i$, з того що :

$s_i|_{V_i\cap V_j}=s_j|_{V_i\cap V_j}$

випливає існування єдиного перерізу s передпучка $\mathcal F$ над V такого що : $s|_{V_i}=s_i$.

Замітка. Визначення пучка існує і у випадку коли об'єктами категорії не є множини. Проте цей випадок вимагає глибших понять теорії категорій і не часто використовується у застосуваннях.

Приклади

Пучки функцій

Одним з найпростіших і найважливіших прикладів є пучок неперервних функцій на топологічному просторі X. Обмеження неперервної функції на відкриту підмножину є неперервною функцією на цій підмножині, і функція, задана частково на відкритих підмножинах, може бути відновлена на їх об'єднанні.

Точніше, для кожної відкритої підмножини U простору X позначимо F(U) множину всіх неперервних дійснонозначних функцій $f: X \to \mathbb{R}$. Маючи відкриту множину V, що міститься в U, і функції f з F(U), ми можемо звузити область визначення функції f до множини V і одержати функцію $f |_V$. Обмеження $f |_V$ є неперервною функцією на V, отже, воно є елементом множини F(V). Таким чином, визначено відображення обмеження $\rho_{VU}: F(U)\to F(V)$.

Припустимо, що задана узгоджена система неперервних функцій $f_i: U_i \to \mathbb{R}, i \in I$. Це означає, що обмеження функцій f_i і f_j на множині $U_i\cap U_j$ повинні бути рівними. Визначимо тепер функцію $f: U \to \mathbb{R}$ таким чином: оскільки U - об'єднання всіх U_i, кожна точка x з U покрита множиною U_i для деякого i. Визначимо значення функції f в точці x рівним f_i(x). Це визначення коректно: якщо x лежить також і в U_j, то по умові узгодженості f_i(x)= f_j(x), тому все одно, яку з цих функцій користуватися для визначення f(x). При цьому функція f неперервна в точці x, оскільки в її околі U_i вона рівна неперервній функції f_i(x). У результаті функція f неперервна в кожній точці з U, тобто неперервна в U. Більш того, f — єдина неперервна функція, обмеження якої на області U_i рівне f_i, оскільки функція повністю визначається своїми значеннями в точках.

Насправді, одержаний пучок є не просто пучком множин. Оскільки неперервні функції можна поточково додавати і одержувати знову неперервні функції, цей пучок також є пучком абелевих груп. Оскільки їх також можна перемножувати, цей пучок є пучком комутативних кілець. Оскільки неперервні функції на множині утворюють векторний простір над $\R$, то цей пучок — пучок алгебр над $\R$.

Морфізми пучків

Оскільки пучки містять дані, співвіднесені кожній відкритій підмножині простори X, морфізм пучків визначається як набір відображень, для кожної відкритої множини, що задовольняє деяким умовам узгодженості.

Морфізми пучків над одним простором

У цьому розділі всі пучки визначені над простором X і приймають значення у фіксованій категорії C (коли мова піде про ядро і коядро морфізмів, передбачається, що C — абелева категорія).

Нехай $\mathcal{F}$ і $\mathcal{G}$ — два такі пучки. Морфізм C-пучків на X $\varphi\colon \mathcal{G} \to \mathcal{F}$ зіставляє кожній відкритій множині U простори X морфізм $\varphi_U\colon\mathcal{G}(U) \to \mathcal{F}(U),$ так що всі ці морфізми узгоджено один з одним і відображеннями обмеження в обох пучках. Іншими словами, для кожної відкритої підмножини U і відкритої множини V має місце комутативна діаграма:

Ця умова узгодженості означає, що кожному перетину s пучка F над відкритою множиною U зіставлено деякий переріз $\varphi_U(s)$ над U пучка G, і їх обмеження на відкриту підмножину V безлічі U зв'язані морфізмом $\varphi_V$. (Обмеження на V $\varphi_U$-образа перерізу s рівне $\varphi_V$-образу його обмеження на V.)

Простий факт, що морфізм пучків є ізоморфізмом (тобто має обернений морфізм) тоді і тільки тоді, коли всі морфізми $\varphi_U$ є ізоморфізмами. Те ж вірно для мономорфізмів і не вірно для епіморфізмів. Це пов'язано з тим, що ядро морфізму пучків завжди є пучком, а образ і коядро можуть і не бути.

Морфізми пучків над різними просторами

Далі пучки приймають значення у фіксованій категорії C, але можуть бути визначені над різними просторами.

Нехай X і Y — топологічні простори із заданими на них пучками O_X і O_Y відповідно. Морфізм пари (X, O_X) в (Y, O_Y) задається за допомогою наступних даних:

• Неперервне відображення f : X → Y
• сімейство C-морфізмів φ_V : O_Y(V)→ O_X(f ^-1(V)) для кожної відкритої підмножини V простору Y, які комутують з відображеннями обмеження. Тобто, якщо V₁ ⊂ V₂ - дві відкриті підмножини Y, наступна діаграма повинна бути комутативною (вертикальні стрілки — морфізми обмеження на підмножину):

Це визначення годиться і для визначення морфізму передпучків над різними просторами.

Посилання

• Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії

Література

• Годеман Р., Алгебраическая топология и теория пучков, пер. с франц., М., 1961;
• Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961;
• Bredon, Glen E. (1997), Sheaf theory, Graduate Texts in Mathematics, 170 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94905-5
• Hirzebruch, Friedrich (1995), Topological methods in algebraic geometry, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58663-0
• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (1994), Sheaves on manifolds, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 292, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-51861-7
• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1994), Sheaves in geometry and logic, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97710-2
• Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics. Second Series (The Annals of Mathematics, Vol. 61, No. 2) 61 (2): 197–278, doi:10.2307/1969915, MR0068874, ISSN 0003-486X, http://www.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf
• Swan, R. G. (1964), The Theory of Sheaves, University of Chicago Press
• Tennison, B. R. (1975), Sheaf theory, Cambridge University Press, MR0404390