Півпростір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Площина ділить простір на два півпростори

Півпростір (англ. Half-space) є однією з двох частин, на які площина ділить тривимірний Евклідів простір. У більш загальному, багатовимірному випадку, півпростір є однією з двох частин, на які гіперплощина ділить афінний простір. Тобто, точки, які не належать гіперплощині розподіляються на дві опуклі множини (тобто півпростори), таким чином, що будь-який підпростір, що містить точки з різних півпросторів, повинен перетинати гіперплощину. Наприклад, відрізок, що з'єднує точки з різних півпросторів, повинен перетинати гіперплощину.

Півпростір може бути або відкритим або замкненим. Відкритий півпростір співпадає з однією з двох відкритих множин, утворених відніманням гіперплощині від афінного простору. A замкнений півпростір є об'єднанням відкритого півпростору та гіперплощини, що визначає його.

Якщо простір двовимірний, то півпростір називається півплощиною (відкритий або замкнений). Півпростір одномірного простору називається променем.

Так як, площину можна описати лінійним рівнянням, то півпростір можна визначити відповідною лінійною нерівністю.

Строга нерівність визначає відкритий півпростір, а нестрога — замкнений:

a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n>b — відкритий півпростір
a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\geqslant b — замкнений

Припускається, що серед дійсних чисел a1, a2, …, an буде хоча б одне не нульове.

Властивості[ред.ред. код]

Верхній і нижній півпростори[ред.ред. код]

В n-мірному просторі відкритим (замкненим) верхнім півпростором називається півпростір всіх точок (x1, x2, …, xn) таких, що xn > 0 (≥ 0). Відповідно відкритий (замкнений) нижній півпростір буде множиною точок, для яких координата xn від'ємна (не додатна).

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]