П'ятикутник

Правильний п'ятикутник
Правильний П'ятикутник
Ребра і вершини	5
Символ Шлефлі	{5}
Діаграма Кокстера-Динькіна
Група симетрії	Дігедрал (D5)
Внутрішній кут (градусів)	108°
Властивості	Опуклий, циклічний, правильний, ізогональний, ізотоксальний

П'ятикутник — планіметрична фігура, многокутник, що має п'ять сторін, п'ять вершин та п'ять кутів. Сума внутрішніх кутів п'ятикутника дорівнює 540°.

$\sum {\alpha =}(n - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$

Властивості

Виведення формули площі

Площа довільного правильного многокутника дорівнює:

$A = \frac{1}{2}Pa$

де P — периметр многокутника, a — апофема. Підставляючи відповідні значення параметрів P та a, отримуємо формулу:

$A = \frac{1}{2} \times \frac{5t}{1} \times \frac{t\tan(54^\circ)}{2}$

з $t$ відома довжина бічної сторони. Можна подати формулу в вигляді:

$A = \frac{1}{2} \times \frac{5t^2\tan(54^\circ)}{2} = \frac{5t^2\tan(54^\circ)}{4}$

Виведення формули діагональної довжини

Діагоналі правильного многокутника ( далі по тексту D) можна обчислити знаючи золоте значення $\phi$ і відому довжину бічної сторони.

$\frac {D}{T} = \varphi = \frac {1+ \sqrt {5} }{2} \ ,$

Відповідно:

$D = T \times \varphi \ .$

Метод побудови

Відомо багато методів побудови правильного п'ятикутника. Деякі з них наведено нижче.

Метод Річмонда

Один метод побудови правильного п'ятикутника в заданому колі виглядає наступним чином:

Побудова правильного п'ятикутника

Альтернативний метод

Альтернативний метод:

Побудова п'ятикутника

Анімація

П'ятикутники в природі

Рослини

• 

  П'ятикутний переріз окри.

• 

  Квітка ранковий німб, як і багато інших квітів має п'ятикутну форму.

• 

  Маточка яблука містить п'ять плодолистків, що утворюють п'ятикутну зірку

• 

  Карамболя ще один приклад п'ятірчастої симетрії.

Тварини

• 

  Морська зірка. Багато голкошкірих мають п'ятірчасту радіальну симетрію.

• 

  Ілюстрація змієхвістки, також голкошкірого організму з п'ятикутною формою.

Див. також

• Правильний п'ятикутник
• Пентагон
• Пентаграма