Радикал (теорія кілець)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В абстрактній алгебрі радикалом ідеалу I\, в комутативному кільці R\,, називається множина:

\sqrt I=\{f\in R:\,\exist n\in \N \,\,f^n\in I\}.

Ідеал, що збігається зі своїм радикалом має назву радикальний ідеал.

Властивості[ред.ред. код]

  • Радикал ідеалу теж є ідеалом.
Нехай P\; деяке комутативне кільце, a x, y \in P два елементи, що належать радикалу ідеалу I\,. Нехай m, n \in \N такі, що x^m = 0\; та y^n = 0\;. З комутативності x\; і y\; можна використати формулу бінома Ньютона для (x + y)^{m + n}\;:
(x + y)^{m + n} = \sum_{k = 0}^{m + n} \binom{m + n}{k} x^{k} y^{m + n - k}
При 0 \leqslant k < m\; маємо m + n - k > n\;, тоді y^{m + n - k} \in I\; і доданки, що відповідають тим індексам k\; рівні нулю. Однак при k \geqslant m\;, одержується x^k = 0\;. Тобто всі доданки належать I\, і, зважаючи на замкнутість ідеалів щодо додавання, x + y\; є елементом радикалу \sqrt I.
Далі якщо r \in R — деякий елемент кільця і a \in \sqrt I — елемент радикалу такий, що a^n=0\,, тоді (ar)^n=a^nr^n=0\, тобто ar \in \sqrt I, що доводить твердження.
  • Радикал ідеалу I\, рівний перетину всіх простих ідеалів, що містять I\,.(Див. статтю Простий ідеал).

Приклади[ред.ред. код]

Нехай \Z — кільце цілих чисел.

  1. Радикал 4\Z чисел, що діляться на 4 рівний 2\Z.
  2. Радикал 5\Z рівний 5\Z.
  3. Радикал 12\Z рівний 6\Z.

Література[ред.ред. код]

  • David Eisenbud, Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry, New York : Springer-Verlag, 1999.