Радикал (теорія кілець)

В абстрактній алгебрі радикалом ідеалу $I\,$ в комутативному кільці $R\,$, називається множина:

$\sqrt I=\{f\in R:\,\exist n\in \N \,\,f^n\in I\}$.

Ідеал, що збігається зі своїм радикалом має назву радикальний ідеал.

Властивості

• Радикал ідеалу теж є ідеалом.

Нехай $P\;$ деяке комутативне кільце, a $x, y \in P$ два елементи, що належать радикалу ідеалу $I\,$. Нехай $m, n \in \N$ такі, що $x^m = 0\;$ та $y^n = 0\;$. З комутативності $x\;$ і $y\;$ можна використати формулу бінома Ньютона для $(x + y)^{m + n}\;$:

$(x + y)^{m + n} = \sum_{k = 0}^{m + n} \binom{m + n}{k} x^{k} y^{m + n - k}$

При $0 \leqslant k < m\;$ маємо $m + n - k > n\;$, тоді $y^{m + n - k} \in I\;$ і доданки, що відповідають тим індексам $k\;$ рівні нулю. Однак при $k \geqslant m\;$, одержується $x^k = 0\;$. Тобто всі доданки належать $I\,$ і, зважаючи на замкнутість ідеалів щодо додавання, $x + y\;$ є елементом радикалу $\sqrt I$.

Далі якщо $r \in R$ — деякий елемент кільця і $a \in \sqrt I$ — елемент радикалу такий, що $a^n=0\,$, тоді $(ar)^n=a^nr^n=0\,$ тобто $ar \in \sqrt I$, що доводить твердження.

• Радикал ідеалу $I\,$ рівний перетину всіх простих ідеалів, що містять $I\,$.(Див. статтю Простий ідеал).

Приклади

Нехай $\Z$ — кільце цілих чисел.

1. Радикал $4\Z$ чисел, що діляться на 4 рівний $2\Z$.
2. Радикал $5\Z$ рівний $5\Z$.
3. Радикал $12\Z$ рівний $6\Z$.

Література

• David Eisenbud, Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry, New York : Springer-Verlag, 1999.