Результант

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці, результантом двох многочленів P і Q над деяким полем \Bbb K, зі старшими коефіцієнтами рівними одиниці, називається вираз

\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{(x,y):\,P(x)=0,\, Q(y)=0} (x-y),\,

іншими словами, результант дорівнює добутку попарних різниць між їх коренями. Добуток береться по всіх коренях в алгебраїчному замиканні поля \Bbb K з урахуванням їх кратностей; оскільки вираз, що виходить, є симетричним многочленом від коренів многочленів P і Q (які, можливо не належать полю \Bbb K), він може бути записаний як многочлен від коефіцієнтів P і Q. Для многочленів, старші коефіцієнти яких (p і q відповідно) не обов'язково рівні 1, вищезазначений вираз домножується на

p^{deg Q} q^{deg P}.\,

Властивості і способи обчислення[ред.ред. код]

  • Основною властивістю результанта (і його основним застосуванням) є наступне: результант - многочлен від коефіцієнтів P і Q, рівний нулю в тому і лише у тому випадку, коли у многочленів P і Q є спільний корінь (можливо, в деякому розширенні поля \Bbb K).
  • Результант дорівнює визначнику матриці Сильвестра.
  • Дискримінант многочлена p може бути визначений через результант p і його похідної p'.
D(p)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\frac{1}{p_n}res(p,p'),\quad де pn — старший коефіцієнт многочлена p.
Для доведення спершу розглянемо випадок pn=1. Тоді маємо g(x)=\prod (x-\alpha_i) і при x = \alpha_j виконується рівність:
g^'(x)=\prod_{i \neq j} (\alpha_j-\alpha_i)\,
Звідси одержуємо:
res(p,p')=\prod_j (p^'(\alpha_j))= \prod_{i \neq j} (\alpha_j-\alpha_i)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}D(p)
Звідси й одержується частковий випадок рівняння. Загальний випадок одержується якщо врахувати, що при домноженні многочлена p на константу pn результант res(p,p') домножується на p2n-1, а дискримінант D(p) домножується на p2n-2
  • Результант рівний добутку значень одного з многочленів на коренях іншого (як і раніше, добуток береться з урахуванням кратності коренів):
\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{P(x)=0} Q(x).\,
  • \mathrm{res}(P,Q) = (-1)^{\deg P \cdot \deg Q} \cdot \mathrm{res}(Q,P)
  • \mathrm{res}(P\cdot R,Q) = \mathrm{res}(P,Q) \cdot \mathrm{res}(R,Q)
  • Якщо P' = P + R \cdot Q\, і \deg P' = \deg P\,, тоді \mathrm{res}(P,Q) = \mathrm{res}(P',Q)\,
  • Якщо X, Y, P, Q є многочленами однакових степенів і X = a_{00}\cdot P + a_{01}\cdot Q, Y = a_{10}\cdot P + a_{11}\cdot Q,
тоді   \mathrm{res}(X,Y) = \det{\begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} \end{pmatrix}}^{\deg P} \cdot \mathrm{res}(P,Q)
  • \mathrm{res}(P_-,Q) = \mathrm{res}(Q_-,P)\,  де  P_-(z) = P(-z)\,

Посилання[ред.ред. код]