Результант

У математиці, результантом двох многочленів $P$ і $Q$ над деяким полем $\Bbb K$, зі старшими коефіцієнтами рівними одиниці, називається вираз

$\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{(x,y):\,P(x)=0,\, Q(y)=0} (x-y),\,$

іншими словами, результант дорівнює добутку попарних різниць між їх коренями. Добуток береться по всіх коренях в алгебраїчному замиканні поля $\Bbb K$ з урахуванням їх кратностей; оскільки вираз, що виходить, є симетричним многочленом від коренів многочленів $P$ і $Q$ (які, можливо не належать полю $\Bbb K$), він може бути записаний як многочлен від коефіцієнтів $P$ і $Q$. Для многочленів, старші коефіцієнти яких ($p$ і $q$ відповідно) не обов'язково рівні 1, вищезазначений вираз домножується на

$p^{deg Q} q^{deg P}.\,$

Властивості і способи обчислення

• Основною властивістю результанта (і його основним застосуванням) є наступне: результант - многочлен від коефіцієнтів $P$ і $Q$, рівний нулю в тому і лише у тому випадку, коли у многочленів $P$ і $Q$ є спільний корінь (можливо, в деякому розширенні поля $\Bbb K$).
• Результант дорівнює визначнику матриці Сильвестра.
• Дискримінант многочлена p може бути визначений через результант p і його похідної p'.

$D(p)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\frac{1}{p_n}res(p,p'),\quad$ де p_n — старший коефіцієнт многочлена p.

Для доведення спершу розглянемо випадок p_n=1. Тоді маємо $g(x)=\prod (x-\alpha_i)$ і при $x = \alpha_j$ виконується рівність:

$g^'(x)=\prod_{i \neq j} (\alpha_j-\alpha_i)\,$

Звідси одержуємо:

$res(p,p')=\prod_j (p^'(\alpha_j))= \prod_{i \neq j} (\alpha_j-\alpha_i)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}D(p)$

Звідси й одержується частковий випадок рівняння. Загальний випадок одержується якщо врахувати, що при домноженні многочлена p на константу p_n результант res(p,p') домножується на p^2n-1, а дискримінант D(p) домножується на p^2n-2

• Результант рівний добутку значень одного з многочленів на коренях іншого (як і раніше, добуток береться з урахуванням кратності коренів):

$\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{P(x)=0} Q(x).\,$

• $\mathrm{res}(P,Q) = (-1)^{\deg P \cdot \deg Q} \cdot \mathrm{res}(Q,P)$
• $\mathrm{res}(P\cdot R,Q) = \mathrm{res}(P,Q) \cdot \mathrm{res}(R,Q)$
• Якщо $P' = P + R \cdot Q\,$ і $\deg P' = \deg P\,$, тоді $\mathrm{res}(P,Q) = \mathrm{res}(P',Q)\,$
• Якщо $X, Y, P, Q$ є многочленами однакових степенів і $X = a_{00}\cdot P + a_{01}\cdot Q, Y = a_{10}\cdot P + a_{11}\cdot Q$,

тоді   $\mathrm{res}(X,Y) = \det{\begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} \end{pmatrix}}^{\deg P} \cdot \mathrm{res}(P,Q)$

• $\mathrm{res}(P_-,Q) = \mathrm{res}(Q_-,P)\,$  де  $P_-(z) = P(-z)\,$

Посилання

• Стаття Weisstein, Eric W. «Resultant» на сайті «MathWorld».