Рефлексивний простір

Рефлексивний простір — банахів простір $X$, що збігається при канонічному вкладенні зі своїм другим спряженим $X^{**}$.

Означення

Нехай $X^*$ — простір, спряжений з $X$, тобто сукупність усіх неперервних лінійних функціоналів, визначених на $X$. Якщо $\langle x, f\rangle$ — значення функціоналу $f \in X^*$ на елементі $x \in X$, то при фіксованому $x$ і $f$, що пробігають $X^*$, вираз $\langle x, f \rangle = \mathcal F_x(f)$ буде лінійним функціоналом на $X^*$, то є елементом простору $X^{**}$. Нехай $\overline{X} \subset X^{**}$ — множина таких функціоналів. Відповідність $x \to \mathcal F_x$ є ізоморфізм, що не міняє норми $|\!|x|\!|=|\!|\mathcal F_x|\!|$.

Якщо $\overline{X}= X^{**}$, то простір $X$ називається рефлексивним.

Приклади

• Простори $\ell_p$ і $L_p(a,b)$, $1<p<\infty$, рефлексивні,
• Простори $C[a,b]$, $L_1[a,b], L_\infty[a,b]$ не рефлексивні.

Властивості

• Простір $X$ рефлексивний тоді і тільки тоді, коли $X^*$ рефлексивно.
• Простір X рефлексивний тоді і тільки тоді, коли одинична куля цього простору слабо компактна.
• Рефлексивний простір слабко повний. Зворотне невірно, існують слабко повні нерефлексівним простору, наприклад $L_1$.
• Замкнутий підпростір рефлексивного простору рефлексивно.

Варіації і узагальнення

• Поняття рефлексивності природним чином поширюється на локально опуклі простори.

Література

• Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, ч. 1 — Общая теория, пер. с англ., М., 1982;
• Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967;
• Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, I изд., М., 1977.
• Треногин В. А. Функциональный анализ.
• Функциональный анализ.