Розв'язна група

В абстрактній алгебрі розв'язні групи  — групи що відіграють вирішальну роль в теорії Галуа. Поняття розв'язної групи виникло для опису властивостей груп автоморфізмів тих поліномів, розв'язки яких можуть бути записані у радикалах.

Визначення

Група G називається розв'язною, якщо існує спадний ланцюг підгруп:

$\{1\}=G_0\subset G_1\subset\cdots\subset G_k=G$

такий, що $\ G_{j-1}$ є нормальною підгрупою $\ G_j$ а також факторгрупи $\ G_j/G_{j-1}$ для $j=1,2,\dots,k$ є абелевими.

Властивості

• Якщо H — нормальна підгрупа в G, H розв'язна і факторгрупа G / H розв'язна, тоді і G розв'язна. Зокрема якщо дві групи розв'язні, то їх прямий добуток (і навіть напівпрямий добуток) розв'язний.
• Всяка підгрупа і факторгрупа розв'язної групи розв'язні.
• Якщо порядок скінченної групи ділиться лише на два прості числа, то така група розв'язна.

Приклади

• Група невироджених верхніх трикутних матриць є розв'язна.
• Вільна група рангу більше одиниці не є розв'язною.
• Симетрична група $\ S_n$ є розв'язною тоді і тільки тоді, коли $n\le 4$.

Історія

Термін «Розв'язна група» виник в теорії Галуа і пов'язаний з розв'язанням рівнянь в радикалах.

Література

• Е.Артін, Теорія Галуа. — К.: Радянська школа, 1963
• Курош А.Г. (1967). Теория групп (вид. третє). Москва: Наука. с. 648. ISBN 5-8114-0616-9.