Розділення змінних

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

В математиці метод відокремлення змінних (відомий також як метод Фур'є) є одним з методів для знаходження розв'язку звичайних диференціальних рівнянь та диференціальних рівнянь з частинними похідними, які можна переписати таким чином, щоб кожна з двох змінних містилися виключно по різні боки рівняння (по різні боки від знака «дорівнює»). У найпростішому випадку, якщо маємо справу з трьома змінними b=f(x, y, z), одній з величин z у межах інтервалу вимірів (z₁ — z_n) надають кілька послідовних значень. Для двох інших змінних х та y будують графіки функцій y=fi (x) при z_i = const. У результаті на одному й тому самому графіку одержують сімейство кривих y=f_i (x) для різних значень z.

Звичайні Диференціальні Рівняння (ЗДР)

Нехай дано диференціальне рівняння в наступній формі:

${\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)h(f(x)),\qquad \qquad (1)$

яке ми можемо спростити використовуючи заміну $y=f(x)\!$:

${\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y).$

Вважаючи що h(y) ≠ 0, ми можемо рознести компоненти, що залежать від x та від y по різні боки цього рівняння, щоб отримати:

${dy \over h(y)}={g(x)dx}.$

Тут dx (чи dy) можна розглядати на спрощеному рівні лише як зручний запис, що допомагає запам'ятати методику маніпуляцій. Формальне визначення dx як диференціалу є більш глибоким і просунутим поняттям.

Альтернативний запис

Ті, кому не подобається запис Лейбніца, можуть використовувати наступну форму запису:

${\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x),$

але з цього запису не так очевидно, чому метод називають саме «розділенням змінних».

Інтегруючи обидві частини рівняння по $dx$, ми отримуємо

$\int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx,\qquad \qquad (2)$

або, що те ж саме,

$\int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx$

завдяки застосуванню правила підстановки при інтегруванні.

Коли проінтегрувати окремо вирази у лівій та правій частині рівняння, то можна знайти його розв'язок:

$\int {\frac {1}{h(y)}}\,dy+C_{1}=\int g(x)\,dx+C_{2}.$

Слід зазначити, що немає необхідності використовувати тут дві константи інтегрування, оскільки достатньо лише однієї константи $C=C_{2}-C_{1}$.

Зверніть увагу, що метод розділення змінних дозволяє нам розірвати диференціал ${\frac {dy}{dx}}\!$ на окремі частини. Це у свою чергу дозволяє нам скористатися зручним методом для розв'язку диференційних рівнянь даного типу, як це показано в наступних прикладах.

Приклад (I)

Звичайне диференціальне рівняння

${\frac {d}{dx}}f(x)=f(x)(1-f(x))$

можна записати як

${\frac {dy}{dx}}=y(1-y),$

вважаючи що $f(x)=y\!$. Якщо взяти $g(x)=1\!$, а $h(y)=y(1-y)\!$, тоді ми можемо записати дане діференціальне рівняння у вигляді рівняння (1), поданого вище. Відповідно, у поданому рівнянні можна виконати розділення змінних. Як і раніше, ми розглядаємо $dy\!$ та $dx\!$ як певні величини, на які ми можемо поділити або помножити обидві частини рівняння. В даному випадку, помноживши обидві частини рівняння на $dx\!$ та поділивши їх на $y(1-y)\!$, ми отримаємо:

${\frac {dy}{y(1-y)}}=dx.$

Таким чином, ми «розділили» змінні x та y одну від одної, оскільки змінна x та всі функції, що залежать від неї, знаходяться лише у правій частині рівняння, в той час як змінна y та всі функції, що залежать від неї, знаходяться лише у лівій частині.

Інтегруючи обидві частини рівняння, ми отримуємо:

$\int {\frac {dy}{y(1-y)}}=\int dx,$

що після спрощення, застосовуючи метод інтегрування простих дробів, перетвориться на

$\int {\frac {1}{y}}\,dy+\int {\frac {1}{1-y}}\,dy=\int 1\,dx,$

й дасть в результаті:

$\ln |y|-\ln |1-y|=x+C\!$

де C є константою інтегрування. Здійснивши прості алгебраїчні перетворення, отримуємо простий розв'язок для y:

$y={\frac {1}{1+Be^{-x}}},$

де $B=e^{-C}\!$ є константою. Щоб переконатися у правильності даного розв'язку досить продиференціювати його по $dx\!$ й отримати те ж саме рівняння, з якого ми починали даний приклад. (Слід бути уважним з абсолютними величинами при розв'язанні даного рівняння, оскільки різні знаки абсолютної величини змінюють знак константи B на протилежний. Випадок B = 0 дає розв'язок y = 1, який обговорюється нижче.)

Необхідно зазначити, що оскільки ми ділили обидві частини рівняння на $y\!$ та $(1-y)\!$, слід перевірити чи значення $y(x)=0\!$ та $y(x)=1\!$ є розв'язками даного диференціального рівняння. В даному випадку обидва ці значення є розв'язками нашого рівняння (див. також особливі розв'язки).

Приклад (II)

Ріст населення часто моделюють використовуючи наступне диференційне рівняння:

${\frac {dP}{dt}}=vP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)$

де $P\!$ є функцією зміни населення з часом $t\!$, $v\!$ є швидкістю росту, а $K\!$ відповідає здатності виживати в даному середовищі.

Це диференційне рівняння можна розв'язати застосовуючи метод розділення змінних.

${\frac {dP}{dt}}=vP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)$

$\int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int v\,dt$

Щоб взяти інтеграл у лівій частині рівняння, отриманий дріб слід спочатку переписати як

${\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}={\frac {K}{P\left(K-P\right)}},$

а потім спростити до

${\frac {K}{P\left(K-P\right)}}={\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}$

Таким чином ми маємо, що:

$\int \left({\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}\right)\,dP=\int v\,dt$

$\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}=vt+C$

$\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}=-vt-C$

$\ln {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=-vt-C$

${\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-vt-C}$

${\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-C}e^{-vt}$

${\frac {K-P}{P}}=\pm e^{-C}e^{-vt}$

Нехай $A=\pm e^{-C}$.

${\frac {K-P}{P}}=Ae^{-vt}$

${\frac {K}{P}}-1=Ae^{-vt}$

${\frac {K}{P}}=1+Ae^{-vt}$

${\frac {P}{K}}={\frac {1}{1+Ae^{-vt}}}$

$P={\frac {K}{1+Ae^{-vt}}}$

Відповідно, розв'язок цього диференціального рівняння подається у формі

$P\left(t\right)={\frac {K}{1+Ae^{-vt}}}$

Щоб визначити значення константи $A$ приймемо, що при $t=0\!$ початкове населення становило $P\left(0\right)=P_{0}$. Тоді отримуємо:

$P_{0}={\frac {K}{1+Ae^{0}}}$

Приймаючи до уваги що $e^{0}=1\!$, знаходимо вираз для $A\!$:

$A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}$

Тому кінцевий розв'язок цього диференціального рівняння має вигляд:

$P\left(t\right)={\frac {KP_{0}}{K+P_{0}(1-e^{-vt})}}$

Диференціальні рівняння в частинних похідних

Маючи диференціальне рівняння в частинних похідних для функції

$F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$

що залежить від n змінних, деколи можна здогадатися, що розв'язок має форму

$F=F_{1}(x_{1})\cdot F_{2}(x_{2})\cdots F_{n}(x_{n})$

або

$F=f_{1}(x_{1})+f_{2}(x_{2})+\cdots +f_{n}(x_{n}),$

що переводить диференціальне рівняння з частинними похідними у систему звичайних диференціальних рівнянь. Зазвичай кожна незалежна змінна створює константу розділення, що не може бути визначена з одного лише вихідного рівняння.

Приклад (I)

Припустимо, що F є функцією змінних x, y та z, і що ми намагаємося розв'язати наступне рівняння в частинних похідних:

${\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}=0\qquad \qquad (1)$

Спробуємо шукати розв'язок у формі

$F(x,y,z)=X(x)+Y(y)+Z(z)\qquad \qquad (2)$

Підставляючи рівняння (2) в (1), ми отримаємо

${\frac {dX}{dx}}+{\frac {dY}{dy}}+{\frac {dZ}{dz}}=0\qquad \qquad (3)$

Зверніть увагу, що X′(x) є функцією лише від x, Y′(y) є функцією лише від y, а Z′(z) є функцією лише від z. Для того, щоб рівняння (1) виконувалося для всіх x, y та z, кожен з доданків у рівнянні (3) повинен бути константою, інакше кожен з доданків вносив би змінність, що не скасовувалась би іншими двома доданками. Тому

${\frac {dX}{dx}}=c_{1}\quad {\frac {dY}{dy}}=c_{2}\quad {\frac {dZ}{dz}}=c_{3},\qquad \qquad (4)$

де константи c₁, c₂, c₃ задовольняють рівність

$c_{1}+c_{2}+c_{3}=0\qquad \qquad (5)$

Рівняння (4) насправді є системою з трьох звичайних диференціальних рівнянь. В даному випадку вони тривіальні й можуть бути розвязані простим інтегруванням, призводячи до:

$F(x,y,z)=c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4},\qquad \qquad (6)$

де константа інтегрування c₄ визначається з початкових умов.

Приклад (IIa) Лапласіан

Розглянемо диференціальне рівняння

$\nabla ^{2}v+\lambda v={\partial ^{2}v \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v \over \partial y^{2}}+\lambda v=0.$

Припускаючи, що змінні тут розділяються, будемо шукати розв'язок у формі

$v=X(x)Y(y).\,$

В загальному випадку розв'язок буде нескінченною лінійною комбінацією функцій вищезгаданої форми. В деяких спеціальних випадках (див. Приклад (IIb) нижче) припущення про розділення змінних виконується точно.

Виконуючи підстановку, отримаємо

${\partial ^{2} \over \partial x^{2}}[X(x)Y(y)]+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)$

$=Y(y)X''(x)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)=0.\,$

далі розділимо все рівняння на X(x):

${X''(x)Y(y) \over X(x)}+Y''(y)+\lambda Y(y)=0,$

а потім на Y(y):

${X''(x) \over X(x)}+{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}=0.$

Тепер X′′(x)/X(x) є функцією лише від x, а (Y′′(y)+λY(y))/Y(y) є функцією лише від y. Для того, щоб їх сума була нульовою при всіх можливих значеннях x та y, обидві ці функції мають бути константами. Тому

${X''(x) \over X(x)}=k=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)},$

де k є константою розділення. Це рівняння розбивається на звичайні диференціальні рівняння

$X''(x)-kX(x)=0\,$

та

$Y''(y)+(\lambda +k)Y(y)=0\,$

які можна розв'язати відповідним чином. Якщо вихідне рівняння було крайовою задачею, то при цьому треба використати відповідні граничні умови. Це загальновживаний метод, що використовується у багатьох підручниках з фізики (від електромагнетизму до квантової механіки), й він буде дуже корисним для будь-якого студента-фізика.

Приклад (IIb) Власні значення та власні функції Лапласіана

У прямокутній області (наприклад при [0, L₁] × [0, L₂]) з граничними умовами Діріхле припущення про розділення змінних, зроблене у прикладі (IIa), виконується точно. Це дозволяє нам отримати явні вирази для власних функцій через тензорні добутки власних функцій другої похідної, отриманих для одновимірного випадку:

${\begin{aligned}v_{j_{1},j_{2}}(x,y)&={\sqrt {\frac {2}{L_{1}}}}\sin \left({\frac {j_{1}\pi x}{L_{1}}}\right)\otimes {\sqrt {\frac {2}{L_{2}}}}\sin \left({\frac {j_{2}\pi y}{L_{2}}}\right)\\[8pt]&={\frac {2}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}\sin \left({\frac {j_{1}\pi x}{L_{1}}}\right)\sin \left({\frac {j_{2}\pi y}{L_{2}}}\right),\qquad j_{1},j_{2}=1,\dots ,\infty .\end{aligned}}$

Власні значення будуть сумою одновимірних власних значень другої похідної. У цьому прикладі,

$\lambda _{j_{1},j_{2}}=-{\frac {j_{1}^{2}\pi ^{2}}{L_{1}^{2}}}+-{\frac {j_{2}^{2}\pi ^{2}}{L_{2}^{2}}}.$

Матриці

Матрична форма розділення змінних — це сума Кронекера.

Приклад: 2D Дискретний Лапласіан на регулярній ґратці

$L=\mathbf {D_{xx}} \oplus \mathbf {D_{yy}} =\mathbf {D_{xx}} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{yy}} ,\,$

де $\mathbf {D_{xx}}$ та $\mathbf {D_{yy}}$ — одновимірні оператори Лапласа для напрямків x та y відповідно, а $\mathbf {I}$ — одиничні матриці відповідного розміру. Див. докладніше у головній статті сума Кронекера для дискретних Лапласіанів (Kronecker sum of discrete Laplacians).

Програмне забезпечення

Xcas: split((x+1)*(y-2), [x, y]) = [x+1,y-2]

Джерела

• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.
• Основний матеріал було взято з англійської Вікіпедії й доповнено.

Література

• Узагальнена схема відокремлення змінних. Диференціально-символьний метод: Моногр. / П. І. Каленюк, З. М. Нитребич; Нац. ун-т «Львів. політехніка». — Л., 2002. — 291 c. — Бібліогр.: с. 275—288.

Посилання

• Методи загального та функціонального розділення змінних [Архівовано 30 червня 2007 у Wayback Machine.] у «Світі Математичних Рівнянь».

• Приклади розділення змінних для розв'язку диференціальних рівнянь в частиних похідних.