Розділення змінних

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці метод відокремлення змінних є одним з методів для знаходження розв'язку звичайних диференціальних рівнянь та диференціальних рівнянь з частинними похідними, які можна переписати таким чином, щоб кожна з двох змінних містилися виключно по різні боки рівняння (по різні боки від знака «дорівнює»).

Звичайні Диференціальні Рівняння (ЗДР)[ред.ред. код]

Нехай дано диференціальне рівняння в наступній формі:

\frac{d}{dx} f(x) = g(x)h(f(x)),\qquad\qquad (1)

яке ми можемо зпростити використовуючи заміну y = f(x)\!:

\frac{dy}{dx}=g(x)h(y).

Вважаючи що h(y) ≠ 0, ми можемо рознести компоненти, що залежать від x та від y по різні боки цього рівняння, щоб отримати:

{dy \over h(y)} = {g(x)dx}.

Тут dx (чи dy) можна розглядати на спрощеному рівні лише як зручний запис, що допомагає запам'ятати методику маніпуляцій. Формальне визначення dx як диференціалу є більш глибоким і просунутим поняттям.

Альтернативний запис[ред.ред. код]

Ті, кому не подобається запис Лейбніца, можуть використовувати наступну форму запису:

\frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} = g(x),

але з цього запису не так очевидно, чому метод називають саме "розділенням змінних".

Інтегруючи обидві частини рівняння по dx, ми отримуємо

\int \frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} \, dx = \int g(x) \, dx, \qquad\qquad (2)

або, що те ж саме,

\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx

завдяки застосуванню правила підстановки при інтегруванні.

Коли проінтегрувати окремо вирази у лівій та правій частині рівняння, то можна знайти його розв'язок:

\int \frac{1}{h(y)} \, dy + C_1 = \int g(x) \, dx + C_2.

Слід зазначити, що немає необхідності використовувати тут дві константи інтегрування, оскільки достаньо лише однієї константи C = C_2 - C_1.

Зверніть увагу, що метод розділення змінних дозволяє нам розірвати диференціал \frac{dy}{dx}\! на окремі частини. Це у свою чергу дозволяє нам зкористатися зручним методом для розв'язку диференційних рівняннь даного типу, як це показано в наступних прикладах.

Приклад (I)[ред.ред. код]

Звичайне диференціальне рівняння

\frac{d}{dx}f(x)=f(x)(1-f(x))

можна записати як

\frac{dy}{dx}=y(1-y),

вважаючи що f(x) = y\!. Якщо взяти g(x) = 1\!, а h(y) = y(1-y)\!, тоді ми можемо записати дане діференціальне рівняння у вигляді рівняння (1), поданого вище. Відповідно, у поданому рівнянні можна виконати розділення змінних. Як і раніше, ми розглядаємо dy\! та dx\! як певні величини, на які ми можемо поділити або помножити обидві частини рівняння. В даному випадку, помноживши обидві частини рівняння на dx\! та поділивши їх на y(1 - y)\!, ми отримаємо:

\frac{dy}{y(1-y)}=dx.

Таким чином, ми «розділили» змінні x та y одну від одної, оскільки змінна x та всі функції, що залежать від неї, знаходяться лише у правій частині рівняння, в той час як змінна y та всі функції, що залежать від неї, знаходяться лише у лівій частині.

Інтегруючи обидві частини рівняння, ми отримуємо:

\int\frac{dy}{y(1-y)}=\int dx,

що після зпрощення, застосовуючи метод інтегрування простих дробів, перетвориться на

\int\frac{1}{y} \, dy + \int\frac{1}{1-y}\,dy=\int 1 \, dx,

й дасть в результаті:

\ln |y| -\ln |1-y|=x+C\!

де C є константою інтегрування. Здійснивши прості алгебраїчні перетворення, отримуємо простий розв'язок для y:

y =\frac{1}{1+Be^{-x}},

де B = e^{-C} \! є константою. Щоб переконатися у правильності даного розв'язку досить продиференціювати його по dx\! й отримати те ж саме рівняння, з якого ми починали даний приклад. (Слід бути уважним з абослютними величинами при розв'язанні даного рівняння, оскільки різні знаки абсолютної величини змінюють знак константи B на протилежний. Випадок B = 0 дає розв'язок y = 1, який обговорюється нижче.)

Необхідно зазначити, що оскільки ми ділили обидві частини рівняння на y\! та (1 - y)\!, слід перевірити чи значення y(x) = 0\! та y(x) = 1\! є розв'язками даного диференціального рівняння. В даному випадку обидва ці значення є розв'язками нашого рівняння (див. також особливі розв'язки).

Приклад (II)[ред.ред. код]

Ріст населення часто моделюють використовуючи наступне диференційне рівняння:

\frac{dP}{dt}=vP\left(1-\frac{P}{K}\right)

де P\! є функцією зміни населення з часом t\!, v\! є швидкістю росту, а K\! відповідає здатності виживати в даному середовищі.

Це диференційне рівняння можна розв'язати застосовуючи метод розділення змінних.

\frac{dP}{dt}=vP\left(1-\frac{P}{K}\right)
\int\frac{dP}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}=\int v\,dt

Щоб взяти інтеграл у лівій частині рівняння, отриманий дріб слід спочатку переписати як

\frac{1}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}=\frac{K}{P\left(K-P\right)},

а потім спростити до

\frac{K}{P\left(K-P\right)}=\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}

Таким чином ми маємо, що:

\int\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}\right)\,dP=\int v\,dt

\ln\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}-\ln\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}=vt+C

\ln\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}-\ln\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}=-vt-C

\ln\begin{vmatrix}\cfrac{K-P}{P}\end{vmatrix}=-vt-C

\begin{vmatrix}\cfrac{K-P}{P}\end{vmatrix}=e^{-vt-C}

\begin{vmatrix}\cfrac{K-P}{P}\end{vmatrix}=e^{-C}e^{-vt}

\frac{K-P}{P}=\pm e^{-C}e^{-vt}

Нехай A=\pm e^{-C}.

\frac{K-P}{P}=Ae^{-vt}

\frac{K}{P}-1=Ae^{-vt}

\frac{K}{P}=1+Ae^{-vt}

\frac{P}{K}=\frac{1}{1+Ae^{-vt}}

P=\frac{K}{1+Ae^{-vt}}

Відповідно, розв'язок цього диференціального рівняння подається у формі

P\left(t\right)=\frac{K}{1+Ae^{-vt}}

Щоб визначити значення константи A приймемо, що при t=0\! початкове населення становило P\left(0\right)=P_0. Тоді отримуємо:

P_0=\frac{K}{1+Ae^0}

Приймаючи до уваги що e^0=1\!, знаходимо вираз для A\!:

A=\frac{K-P_0}{P_0}

Тому кінцевий розв'язок цього диференціального рівняння має вигляд:

P\left(t\right)=\frac{K P_0}{K+P_0(1-e^{-vt})}

Диференціальні рівняння в частинних похідних[ред.ред. код]

Маючи диференціальне рівняння в частинних похідних для функції

 F(x_1,x_2,\dots,x_n),

що залежить від n змінних, деколи можна здогадатися, що розв'язок має форму

 F = F_1(x_1) \cdot F_2(x_2) \cdots F_n(x_n)

або

 F = f_1(x_1) + f_2(x_2) + \cdots + f_n(x_n),

що переводить диференціальне рівняння з частинними похідними у систему звичайних диференціальних рівнянь. Зазвичай кожна незалежна змінна створює константу розділення, що не може бути визначена з одного лише вихідного рівняння.


Приклад (I)[ред.ред. код]

Припустимо, що F є функцією змінних x, y та z, і що ми намагаємося роз'вязати наступне рівняння в частинних похідних:

 \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z} = 0 \qquad\qquad (1)

Спробуємо шукати розв'язок у формі

 F(x,y,z) = X(x) + Y(y) + Z(z)\qquad\qquad (2)

Підставляючи рівняння (2) в (1), ми отримаємо

 \frac{dX}{dx} + \frac{dY}{dy} + \frac{dZ}{dz} = 0 \qquad\qquad (3)

Зверніть увагу, що X′(x) є функцією лише від x, Y′(y) є функцією лише від y, а Z′(z) є функцією лише від z. Для того, щоб рівняння (1) виконувалося для всіх x, y та z, кожен з доданків у рівнянні (3) повинен бути константою, інакше кожен з доданків вносив би змінність, що не скасовувалась би іншими двома доданками. Тому

 \frac{dX}{dx} = c_1 \quad \frac{dY}{dy} = c_2 \quad \frac{dZ}{dz} = c_3,\qquad\qquad (4)

де константи c1, c2, c3 задовольняють рівність

 c_1 + c_2 + c_3 = 0\qquad\qquad (5)

Рівняння (4) насправді є системою з трьох звичайних диференціальних рівнянь. В даному випадку вони тривіальні й можуть бути розвязані простим інтегруванням, призводячи до:

 F(x,y,z) = c_1 x + c_2 y + c_3 z + c_4,\qquad\qquad (6)

де константа інтегрування c4 визначається з початкових умов.

Приклад (IIa) Лапласіан[ред.ред. код]

Розглянемо диференціальне рівняння

\nabla^2 v + \lambda v = {\partial^2 v \over \partial x^2} + {\partial^2 v \over \partial y^2} + \lambda v = 0.

Припускаючи, що змінні тут розділяються, будемо шукати розв'язок у формі

 v = X(x)Y(y).\,

В загальному випадку розв'язок буде нескінченною лінійною комбінацією функцій вищезгаданої форми. В деяких спеціальних випадках (див. Приклад (IIb) нижче) припущення про розділення змінних виконується точно.

Виконуючи підстановку, отримаємо

 {\partial^2\over\partial x^2} [X(x)Y(y)]+{\partial^2\over\partial y^2}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)
 = Y(y)X''(x)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)= 0.\,

далі розділимо все рівняння на X(x):

 {X''(x)Y(y) \over X(x)}+Y''(y)+\lambda Y(y) = 0,

а потім на Y(y):

 {X''(x)\over X(x)} + {Y''(y) + \lambda Y(y)\over Y(y)} = 0.

Тепер X′′(x)/X(x) є функцією лише від x, а (Y′′(y)+λY(y))/Y(y) є функцією лише від y. Для того, щоб їх сума була нульовою при всіх можливих значеннях x та y, обидві ці функції мають бути константами. Тому

 {X''(x)\over X(x)} = k = -{Y''(y)+\lambda Y(y)\over Y(y)},

де k є константою розділення. Це рівняння розбивається на звичайні диференціальні рівняння

X''(x) - k X(x)=0\,

та

Y''(y)+(\lambda+k) Y(y) =0\,

які можна розв'язати відповідним чином. Якщо вихідне рівняння було крайовою задачею, то при цьому треба використати відповідні граничні умови. Це загальновживаний метод, що використовується у багатьох підручниках з фізики (від електромагнетизму до квантової механіки), й він буде дуже корисним для будь-якого студента-фізика.

Приклад (IIb) Власні значення та власні функції Лапласіана[ред.ред. код]

У прямокутній області (наприклад при [0, L1] × [0, L2]) з граничними умовами Діріхле припущення про розділення змінних, зроблене у прикладі (IIa), виконується точно. Це дозволяє нам отримати явні вирази для власних функцій через тензорні добутки власних функцій другої похідної, отриманих для одновимірного випадку:


\begin{align}
v_{j_1,j_2}(x,y) & = \sqrt{\frac{2}{L_1}} \sin\left(\frac{j_1 \pi x}{L_1}\right) \otimes \sqrt{\frac{2}{L_2}} \sin\left(\frac{j_2 \pi y}{L_2}\right) \\[8pt]
& = \frac{2}{\sqrt{L_1 L_2}} \sin\left(\frac{j_1 \pi x}{L_1}\right) \sin\left(\frac{j_2 \pi y}{L_2}\right), \qquad j_1, j_2 = 1,\dots,\infty.
\end{align}

Власні значення будуть сумою одновимірних власних значень другої похідної. У цьому прикладі,

 \lambda_{j_1,j_2} = -\frac{j_1^2 \pi^2}{L_1^2} + -\frac{j_2^2 \pi^2}{L_2^2}.

Матриці[ред.ред. код]

Матрична форма розділення змінних - це сума Кронекера.

Приклад: 2D Дискретний Лапласіан на регулярній ґратці[ред.ред. код]

L = \mathbf{D_{xx}}\oplus\mathbf{D_{yy}}=\mathbf{D_{xx}}\otimes\mathbf{I}+\mathbf{I}\otimes\mathbf{D_{yy}}, \,

де \mathbf{D_{xx}} та \mathbf{D_{yy}} - одновимірні оператори Лапласа для напрямків x та y відповідно, а \mathbf{I} - одиничні матриці відповідного розміру. Див. докладніше у головній статті сума Кронекера для дискретних Лапласіанів (Kronecker sum of discrete Laplacians).

Джерела[ред.ред. код]

  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.
  • Основний матеріал було взято з англійської Вікіпедії й доповнено.

Посилання[ред.ред. код]