Розклад Холецького

Розклад Холецького — представлення симетричної додатноозначеної матриці у вигляді $\ A = LL^T,$ де $\ L$ — нижня трикутна матриця з додатніми елементами на діагоналі.

Для симетричних матриць розклад Холецького завжди існує і, для додатноозначених матриць, він єдиний. Для невід'ємновизначених матриць розклад не єдиний.

Для матриць з комплексними елементами: якщо $\ A$ — додатноозначена ермітова матриця, то існує розклад $\ A = LL^*.$

Розклад названий в честь французького математика Андре-Луї Холецького (1875-1918).

Алгоритм

Елементи матриці $\ L$ можна обчислити, починаючи з верхнього лівого кута, за формулами:

$L_{ii} = \sqrt{A_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} L_{ik}^2}$

$L_{ij} = \frac{1}{L_{jj}} \left(A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik} L_{jk} \right)$, якщо $\ j < i$.

Вираз під коренем завжди додатній, якщо $A$ — дійсна додатновизначена матриця.

Для комплекснозначних ермітових матриць використовуються формули:

$L_{ii} = \sqrt{ A_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} L_{ik}L_{i,k}^* }$

$L_{ij} = \frac{1}{L_{jj}} \left( A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik} L_{jk}^* \right)$, якщо $\ j < i$.

Застосування

Розклад Холецького може застосовуватись для розв'язку системи лінійних рівнянь $Ax = b$ з симетричною додатноозначеною матрицею. Такі матриці часто виникають, наприклад, при використанні методу найменших квадратів чи числовому розв'язуванні диференціальних рівнянь.

Виконавши розклад $A = LL^T$, розв'язок $x$ отримаємо послідовно розв'язавши дві трикутні СЛАР: $Ly = b$ та $L^T x = y$. Такий спосіб розв'язку називають методом квадратних коренів. Порівняно з загальнішими методами: метод Гауса чи LU розклад матриці, він стійкіший і потребує вдвічі менше арифметичних операцій.