Розклад на прості дроби

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Розклад на прості дроби (англ. partial fraction decomposition) алгебраїчного дробу (такого дробу, що числівник і знаменник обидва многочлени) — це операція, яка складається з вираження дробу як суми многочлена (можливо нуля) і одного або кількох дробів з простішими знаменниками.

Важливість розкладу на прості дроби полягає в тому, що він дає алгоритм для обчислення первісної раціональної функції.

Один може використати розклад на прості дроби, щоб привести раціональний дріб форми

 \frac{f(x)}{g(x)}

де ƒ і g є многочленами, у вираз форми

 \sum_j \frac{f_j(x)}{g_j(x)}

де gj (x) це многочлени які є дільниками g(x), і зазвичай меншого степеню. Отже розклад на прості дроби можна розглядати як процедури обернену до простішої операції додавання алгебраїчних дробів, яка видає єдиний алгебраїчний дріб з числівником і знаменником зазвичай вищого степеню. Повний розклад проводить перетворення так далеко як тільки можливо: інакше кажучи, факторизація g робиться настільки сильно наскільки можливо. Отже, на виході повного розкладу на прості дроби ми маємо суму дробів, де:

  • знаменник кожного терму степінь незвідного многочлена і
  • числівник — многочлен меншого степеня ніж цей незвідний многочлен. Для зменшення степеня числівника напряму можна використати евклідове ділення многочленів, але якщо ƒ меншого степеня ніж g це не допоможе.

Приклади[ред.ред. код]

Приклад 1[ред.ред. код]

f(x)=\frac{1}{x^2+2x-3}

Тут знаменник можна розкласти на два відмінних лінійних множники:

q(x)=x^2+2x-3=(x+3)(x-1)

Отже ми маємо такий розклад

f(x)=\frac{1}{x^2+2x-3} =\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-1}

Множення на x2 + 2x − 3 дає нам таке рівняння

1=A(x-1)+B(x+3)

Заміна x = −3 дає A = −1/4 і заміна x = 1 дає B = 1/4, отже

f(x) =\frac{1}{x^2+2x-3} =\frac{1}{4}\left(\frac{-1}{x+3}+\frac{1}{x-1}\right)

Приклад 2[ред.ред. код]

f(x)=\frac{x^3+16}{x^3-4x^2+8x}

У висліді ділення многочленів, ми маємо

f(x)=1+\frac{4x^2-8x+16}{x^3-4x^2+8x}=1+\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}

Оскільки (−4)2 − 4×8 = −16 < 0, множник x2 − 4x + 8 є незвідним і розклад на прості дроби над полем дійсних чисел такий

\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-4x+8}

Множачи на x3 − 4x2 + 8x, отримуємо тотожність

4x^2-8x+16 = A(x^2-4x+8)+(Bx+C)x

Беручи x = 0, ми бачимо, що 16 = 8A, отже A = 2. Порівнюючи коефіцієнти при x2 ми бачимо, що 4 = A + B = 2 + B, отже B = 2. З порівняння лінійних коефіцієнтів ми бачимо, що −8 = −4A + C = −8 + C, отже C = 0. В підсумку,

f(x)=1+2\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{x^2-4x+8}\right)

Приклад 3[ред.ред. код]

Цей приклад демонструє майже всі можливі хитрощі, які могли б знадобитися в роз'ясненні СКА.

f(x)=\frac{x^9-2x^6+2x^5-7x^4+13x^3-11x^2+12x-4}{x^7-3x^6+5x^5-7x^4+7x^3-5x^2+3x-1}

Після ділення многочленів і факторизації знаменника, маємо

f(x)=x^2+3x+4+\frac{2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x}{(x-1)^3(x^2+1)^2}

Розклад на прості дроби отримує таку форму

\frac{2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x}{(x-1)^3(x^2+1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}+\frac{Dx+E}{x^2+1}+\frac{Fx+G}{(x^2+1)^2}

Множачи на (x − 1)3(x2 + 1)2 переходимо до тотожних многочленів



\begin{align}
& {} \quad 2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x \\
& =A(x-1)^2(x^2+1)^2+B(x-1)(x^2+1)^2+C(x^2+1)^2+(Dx+E)(x-1)^3(x^2+1)+(Fx+G)(x-1)^3
\end{align}

Беручи x = 1 отримуємо 4 = 4C, отже C = 1. Так само, беручи x = i отримуємо 2 + 2i = (Fi + G)(2 + 2i), отже Fi + G = 1, звідси F = 0 і G = 1 через прирівнювання дійсних і уявних складових. З C = G = 1 і F = 0, беручи x = 0 ми отримуємо AB + 1 − E − 1 = 0, таким чином E = AB.

Маємо тотожність


\begin{align}
 & {} 2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x \\
 & = A(x-1)^2(x^2+1)^2+B(x-1)(x^2+1)^2+(x^2+1)^2+(Dx+(A-B))(x-1)^3(x^2+1)+(x-1)^3 \\
 & = A((x-1)^2(x^2+1)^2 + (x-1)^3(x^2+1)) + B((x-1)(x^2+1) - (x-1)^3(x^2+1)) + (x^2+1)^2 + Dx(x-1)^3(x^2+1)+(x-1)^3
\end{align}

Розкриваючи дужки і сортуючи степені x отримуємо

 
\begin{align}
 & {} 2 x^6 -4 x^5 +5 x^4 -3 x^3 + x^2 +3 x \\
 & = (A + D) x^6 + (-A - 3D) x^5 + (2B + 4D + 1) x^4 + (-2B - 4D + 1) x^3 + (-A + 2B + 3D - 1) x^2 + (A - 2B - D + 3) x

\end{align}

Тепер ми можемо порівняти коефіцієнти і побачити, що

 
\begin{align}
 A + D &=& 2  \\
 -A - 3D &=&  -4 \\
2B + 4D + 1 &=& 5 \\
-2B - 4D + 1 &=& -3 \\
-A + 2B + 3D - 1 &=& 1 \\
A - 2B - D + 3 &=& 3 ,
\end{align}

з A = 2 − D і −A −3 D =−4 виходить, що A = D = 1 і з цього B = 0, далі C = 1, E = AB = 1, F = 0 і G = 1.

Отже розклад на прості дроби для ƒ(x) такий

f(x)=x^2+3x+4+\frac{1}{(x-1)} + \frac{1}{(x - 1)^3} + \frac{x + 1}{x^2+1}+\frac{1}{(x^2+1)^2}.

Замість розкривання дужок, інші лінійні залежності коефіцієнтів можна було отримати через обчислення похідних у x=1 і x=i в попередній поліноміальній тотожності. (Для цього згадаймо, що похідна в x=a від (x−a)mp(x) зникає якщо m > 1 і є просто p(a) якщо m=1.) Отже, наприклад, перша похідна в x=1 дає

 2\cdot6-4\cdot5+5\cdot4-3\cdot3+2+3   = A\cdot(0+0) + B\cdot( 2+ 0) + 8 + D\cdot0

тобто 8 = 2B + 8 отже B=0.

Посилання[ред.ред. код]