Розмірність Гаусдорфа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Розмірність Гаусдорфа — розмірність множини (в метричному просторі) дорівнює \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln(\rho(n))}{\ln(n)}, де \rho(n) — мінімальне число множин діаметру 1/n, якими можна покрити множину. Розмірність Гаусдорфа не визначена для необмежених множин. Навіть для обмежених множин деяке \rho(n) може дорівнювати нескінченності.

Трикутник Серпінського. Простір з фрактальною розмірністю log2 3 або ln3/ln2, що прибл. дорівнює 1.585


Розмірність Гаусдорфа — природний спосіб визначати розмірність множини у метричному просторі. Для багатьох випадків розмірність Гаусдорфа рівна топологічній розмірності (розмірності Лебега). Розмірність Гаусдорфа належить до математичних концепцій, введених в 1918 р. математиком Феліксом Гаусдорфом, і служить мірою локального розміру набору чисел (тобто «простір»), беручи до уваги відстань між кожним з її елементів (тобто, «точки» в «просторі»). Застосування цих математичних формулювань передбачає, що розмірність Гаусдорфа з однієї точки дорівнює 0, з лінії – 1, з квадрата – 2, з куба – 3. Тобто, для множини точок, які визначають рівні форми, або форми, які мають невелику кількість кутів – форм, які належать до традиційної геометрії та наукової розмірності Гаусдорфа. Тим не менш, були розробленні формулювання, які дозволяють розрахувати розмірності для інших, менш простих об’єктів, виключно на основі своїх властивостей масштабування і самоподібності, тому можна зробити висновок, що окремі об’єкти, в тому числі фракталі – є дробовими розмінностями Гаусдорфа. Завдяки значним технічним досягненням, зроблених Абрамом Самойловичем Безиковичем, що дозволяють розрахувати розміри для високо нерегулярних наборів, цей аспект також, зазвичай, називають розмірністю Гаусдорфа – Безиковича.

Розмірність Гаусдорфа, має подальший розмірний ряд, пов'язаний з даним набором чисел, де відстані між усіма членами цього набору будуть визначатися. Набір, який забезпечує розмірність Гаусдорфа називається розширеним дійсним числом, R, і набір цифр, де відстані між усіма членами називається матричним простором. Отже, розмірність Гаусдорфа є невід’ємним дійсним числом (R≥0), пов’язаним з будь – яким матричним простором.

У математичній термінології, розмірність Гаусдорфа узагальнює поняття розмірності дійсного векторного простору. Тобто, розмірність Гаусдорфа внутрішнього простору n - мірного продукту дорівнює n. Це лежить в основі раніше викладеного, що розмірність Гаусдорфа для точки дорівнює 0, для лінії – 1 і т.д., і що фрактальні множини можуть мати дробову розмірність Гаусдорфа. Наприклад, крива Коха, що була раніше утворена з рівностороннього трикутника; У кожній ітерації, його складові відрізки поділяються на 3 сегменти одиничної довжини, новостворений середній сегмент використовується в якості основи, для нового рівностороннього трикутника, точки якого назовні, і цей базовий сегмент потім виділяється. Тобто, після першої ітерації, кожен оригінальний відрізок був замінений N=4,  де кожна подібна копія 1/S=1/3. Інакше кажучи, ми взяли об’єкт з евклідовою розмірністю D, а також знизили його лінійну шкалу на 1/3 в кожному напрямку, так що його довжина зростає до N=SD. Це рівняння легко вирішується за D, отримуючи кількісне співвідношення логарифмів, що дає в фрактальних випадках дробову розмірність.

Означення[ред.ред. код]

Означення розмірності Гаусдорфа складається з декількох кроків. Нехай M — обмежена множина у метричному просторі X. Наприклад, нехай X = R^n.

\delta-покриття[ред.ред. код]

Нехай \delta>0,  \delta\in R. Не більш ніж зліченну сім'ю \{ U_i \}_{i \in I} підмножин простору X будемо називати \delta-покриттям множини M, якщо виконуються такі дві властивості:

ρ-міра Хаусдорфа[ред.ред. код]

Нехай \rho>0. Нехай \Theta=\{U_i\}_{i\in I} — покриття множини M. Визначимо наступну функцію, яка в деякому плані визначає розмір цього покриття: F_\rho(\Theta):=\sum\limits_{i\in I} (\operatorname{diam}\,U_i)^\rho. Позначимо через M^{\delta}_{\rho}(M) «мінімальний розмір» {\delta}-покриття множини M: M^{\delta}_{\rho}(M) := \inf(F_\rho(\Theta)), де інфімум береться по всіх \delta-покриттях множини M. Очевидно, що функція M^{\delta}_{\rho}(M) спадає по \delta. Отже, у неї є скінченна або нескінченна границя при \delta\rightarrow 0: M_{\rho}(M)=\lim\limits_{\delta\rightarrow 0+}M^{\delta}_{\rho}(M) . Величина M_{\rho}(M) називається \rho-мірою Гаусдорфа множини M.

Властивості ρ-міри Гаусдорфа[ред.ред. код]

  • \rho-міра Гаусдорфа є борелівською мірою на X.
  • з точністю до множення на коефіцієнт: 1-міра Гаусдорфа для гладких кривих збігається з їх довжиною; 2-міра Гаусдорфа для гладких поверхонь збігається з їх площею; d- міра Гаусдорфа множин у \mathbb{R}^d збігається з їхнім d-мірним об'ємом.
  • M_{\rho}(M) спадає по \rho. Більш того для будь-якої множини M існує критичне значення \rho_0, таке, що:
    • M_{\rho}(M)=0 для всіх \rho>\rho_0
    • M_{\rho}(M)=+\infty для всіх \rho<\rho_0 Значення M_{\rho_0}(M) може бути нульовим, скінченним або нескінченним.

Визначення розмірності Гаусдорфа[ред.ред. код]

Розмірністю Гаусдорфа множини M називається число \rho_0 з попереднього пункту.

Властивості розмірності Гаусдорфа[ред.ред. код]

  • Розмірність Гаусдорфа будь-якої множини не більша за нижню та верхню розмірності Мінковського.
  • Розмірність Гаусдорфа не більш ніж зліченного об'єднання множин дорівнює максимальній розмірності об'єднаних множин. Зокрема, додавання зліченної множини до будь-якої множини не змінює її розмірності.
  • Для самоподібних множин розмірність Гаусдорфа може бути обчислена явно. Неформально, якщо множина розбивається на n частин, подібних до вихідної множини з коефіцієнтами r_1,r_2,\dots,r_n, то її розмірність s є розв'язком рівняння r_1^s+r_2^s+\dots+r_n^s = 1. Наприклад, розмірність множини Кантора дорівнює \ln2/\ln3 (розбивається на дві частини, коефіцієнт подібності 1/3), а розмірність трикутника Серпінського — \ln3/\ln2 (розбивається на 3 частини, коефіцієнт подібності 1/2).

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Федер Е. (1991). Фракталы. М.: МИР. с. 254. ISBN 5-03-001712-7. 

Джерела інформації[ред.ред. код]

  • Бенуа Мандельброт. Фрактальна геометрія природи.
  • А. Морозов. Введение в теорию фракталов.
  • Пайтген Х. О. Рихтер П. Х. Красота фракталов.
  • Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах
  • Божокин С. В. Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы.
  • K.I. Falconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.
  • Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7
  • Стаття в англомовній вікіпедії