Розмірність Круля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У абстрактній алгебрі, розмірність Круля кільця R — число строгих включень в максимальному ланцюзі простих ідеалів. Розмірність Круля не обовязково є обмеженою навіть для нетерових кілець.

Довільне поле k має розмірність Круля 0; більш загалом, k[x_1, ..., x_n] має розмірність Круля n. Кільце головних ідеалів, що не є полем, має розмірність Круля 1.

Визначення[ред.ред. код]

Якщо P0, P1, ... , Pn — прості ідеали кільця такі що P_0\subsetneq P_1\subsetneq \ldots \subsetneq P_n, то кажуть, що ці ідеали утворюють ланцюг довжини n. Розмірність Круля — супремум довжин ланцюгів головних ідеалів.

Наприклад, в кільці (Z/8Z)[x,y,z] ми можемо розглядати ланцюг

(2) \subsetneq (2,x) \subsetneq (2,x,y) \subsetneq (2,x,y,z)

Кожен з цих ідеалів головний, так що розмірність Круля (Z/8Z)[x, y, z] є як мінімум 3. Фактично розмірність цього кільця рівна точно 3.

Властивості[ред.ред. код]

Розмірність Круля кільця R рівна супремуму висот всіх простих ідеалів R. Зокрема, область цілісності має розмірність Круля 1, коли кожен відмінний від нуля простий ідеал є максимальним ідеалом.

Наґата подав приклад кільця, що має нескінченну розмірність Круля навіть якщо кожен головний ідеал, має обмежену висоту.

Область цілісності є полем, якщо і тільки якщо його розмірність Круля рівна нулю.

Якщо кільце R має розмірність Круля k, то кільце многочленів R[x] матиме розмірність як мінімум k + 1 і як максимум 2k + 1. Якщо R — кільце Нетер, то розмірність R[x] рівна k + 1.

Джерела[ред.ред. код]

  • R. Gordon, J. Ch. Robson, Krull dimension, American Mathematical Society, 1978, ISBN 0-8218-1833-3.
  • J. C. McConnell, J. C. Robson, Lance W. Small, Noncommutative Noetherian Rings, American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2169-5.