Розмірність Круля

У абстрактній алгебрі, розмірність Круля кільця R — число строгих включень в максимальному ланцюзі простих ідеалів. Розмірність Круля не обов'язково є обмеженою навіть для нетерових кілець.

Означення

Якщо P₀, P₁, ... , P_n — прості ідеали кільця такі що $P_{0}\subsetneq P_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq P_{n}$, то кажуть, що ці ідеали утворюють ланцюг довжини n. Розмірність Круля — супремум довжин ланцюгів головних ідеалів.

Приклади

• У кільці (Z/8Z)[x,y,z] ми можемо розглядати ланцюг

$(2)\subsetneq (2,x)\subsetneq (2,x,y)\subsetneq (2,x,y,z)$

Кожен з цих ідеалів головний, так що розмірність Круля (Z/8Z)[x, y, z] є як мінімум 3. Фактично розмірність цього кільця рівна точно 3.

• Довільне поле k має розмірність Круля 0.
• Кільце многочленів $k[x_{1},...,x_{n}]$ і кільце формальних степеневих рядів $k[[x_{1},...,x_{n}]]$ над деяким полем k мають розмірність Круля n. Більш загально для довільного нетерового комутативного кільця R для розмірності Круля виконується рівність $\dim(R[x_{1},\ldots ,x_{n}])=\dim(R[[x_{1},\ldots ,x_{n}]])=\dim R+n.$
• Для довільного комутативного кільця R розмірність Круля кільця многочленів задовольняє нерівність: $\dim(R)+1\leqslant \dim(R[x_{1},\ldots ,x_{n}])\leqslant 2\dim(R)+1.$ Для кільця формальних степеневих рядів у цьому випадку виконується лише нерівність $\dim(R)+1\leqslant \dim(R[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]).$ Натомість існують кільця скінченної розмірності Круля над якими кільце формальних степеневих рядів має нескінченну розмірність.

Зокрема кільце $R[[x]]$ має нескінченну розмірність тоді і тільки тоді, коли існує простий ідеал ${\mathfrak {p}}$ для якого ${\mathfrak {p}}[[x]]\neq {\sqrt {{\mathfrak {p}}R[[x]]}}.$ Тут ${\mathfrak {p}}[[x]]$ позначає формальні степеневі ряди із коефіцієнтами із ${\mathfrak {p}},$ а ${\sqrt {{\mathfrak {p}}R[[x]]}}$ — радикал ідеалу у $R[[x]]$ породженого ${\mathfrak {p}}.$ Зокрема, якщо R — кільце розмірності 0, то розмірність $R[[x]]$ рівна або 1 або нескінченності.

Прикладом скінченновимірних комутативних кілець для якого $R[[x]]$ має нескінченну розмірність є кільця недискретного нормування розмірності 1. Іншим прикладом є $R=\mathbb {Q} [x_{1},x_{2},\ldots ]/(x_{1}^{n},x_{2}^{n},\ldots ),\ n\geqslant 2,$ яке є кільцем розмірності 0, а також всі скінченновимірні кільця спектр яких не є нетеровим топологічним простором.

• Кільце головних ідеалів, що не є полем, має розмірність Круля 1.
• Розмірність довільного кільця Артіна є рівною 0.
• Розмірність довільного кільця Дедекінда є рівною 1.
• Локальне кільце має нульову розмірність тоді і тільки тоді, коли всі елементи його максимального ідеалу є нільпотентними.
• Приклад Наґати. Нехай $R=k[x_{1},...,x_{n},...]$ — кільце многочленів зі зліченною кількістю змінних. Розглянемо послідовність простих ідеалів ${\mathfrak {p}}_{1}=(x_{1}),\ {\mathfrak {p}}_{2}=(x_{2},x_{3}),\ {\mathfrak {p}}_{3}=(x_{4},x_{5},x_{6}),\ \ldots$Тоді $S=R\setminus \cup {\mathfrak {p}}_{i}$є мультиплікативною множиною і можна розглянути локалізацію $A=S^{-1}R.$Нехай також ${\mathfrak {m}}_{i}=S^{-1}{\mathfrak {p}}_{i}.$Множина ${\mathfrak {m}}_{i}$є множиною максимальних ідеалів кільця A. Справді ідеали кільця A є у бієктивній відповідності із ідеалами кільця R, що містяться у $\cup {\mathfrak {p}}_{i}.$Якщо ${\mathfrak {a}}$є таким ненульовим ідеалом то ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}_{i}$ для деякого i. Справді, якщо це не так, то з запису $\bigcup {\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}_{1}\cup \ldots {\mathfrak {p}}_{n}\cup \bigcup _{k>n}{\mathfrak {p}}_{k}$ і леми про уникнення простих ідеалів випливає що ${\mathfrak {a}}\subset \bigcup _{k>n}{\mathfrak {p}}_{k}$ для всіх n. Але перетин таких множин є рівним нуля, що суперечить припущенню.

Будь-який ненульовий елемент кільця A належить лише скінченній кількості максимальних ідеалів ${\mathfrak {m}}_{i}$, адже будь-який ненульовий елемент кільця R належить лише скінченній кількості ідеалів ${\mathfrak {p}}_{i}$, що випливає з того, що будь-який елемент кільця R є елементом деякого підкільця зі скінченною кількістю змінних і тому не може містити породжуючих елементів для всіх ${\mathfrak {p}}_{i}.$

Кожна локалізація $A_{{\mathfrak {m}}_{i}}=R_{{\mathfrak {p}}_{i}}$ є нетеровим кільцем. Дійсно якщо ${\mathfrak {p}}_{i}=(x_{k},\ldots ,x_{k+i-1}),$ то $R_{{\mathfrak {p}}_{i}}=\simeq K[x_{k},\ldots ,x_{k+i-1}]_{(x_{k},\ldots ,x_{k+i-1})},$ де K — поле часток підкільця многочленів у R, що не містять змінних $x_{k},\ldots ,x_{k+i-1}.$ Твердження отримується з того, що кільце многочленів над полем (зі скінченною кількістю змінних) і будь-яка його локалізація є нетеровими кільцями.

Для довільного комутативного кільця R, якщо кожен його ненульовий елемент міститься лише у скінченній кількості максимальних ідеалів і локалізація по кожному максимальному кільці є кільцем Нетер, то і R — кільце Нетер. Справді для довільної зростаючої послідовності ідеалів довільний елемент якогось із ідеалів належить лише скінченній множині максимальних ідеалів. Але тоді і кожен ідеал зростаючої послідовності є підмножиною цієї скінченної множини максимальних ідеалів. Тому існує деякий максимальний ідеал якому належить нескінченна кількість ідеалів послідовності. Оскільки при переході до локалізації по цьому максимальному ідеалу підпослідовність стабілізується то це ж є справедливим і для початкової підпослідовності, а тому всієї послідовності. Отже R — кільце Нетер. Зокрема і частковий випадок $R=k[x_{1},...,x_{n},...]$ є нетеровим кільцем, оскільки вказані умови виконуються.

Натомість у ${\mathfrak {m}}_{i}$ існує ланцюг простих ідеалів довжини $i$. Оскільки $i$ є необмеженим числом то $R$ має розмірність рівну нескінченності і є прикладом нескінченновимірного нетерового кільця.

• Натомість довільне напівлокальне нетерове кільце має скінченну розмірність.

Властивості

• Розмірність Круля кільця R рівна супремуму висот всіх простих ідеалів R. Зокрема, область цілісності має розмірність Круля 1, коли кожен відмінний від нуля простий ідеал є максимальним ідеалом.

• Область цілісності є полем, якщо і тільки якщо його розмірність Круля рівна нулю.

• Розмірність Круля кільця є рівною розмірності будь-якого його цілого розширення.
• Для кільця R і простого ідеалу ${\mathfrak {p}}\in R$ виконується нерівність $\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}+\operatorname {coht} {\mathfrak {p}}\leqslant \dim R.$

Нерівність може бути строгою навіть для нетерових кілець. Нехай, наприклад, $A=k[[X,Y,Z]]$ — кільце формальних степеневих рядів від трьох змінних над полем k, I — ідеал породжений XY і XZ і R = A/I. Тоді $\dim R=2.$ Якщо позначати ${\bar {Y}},\ {\bar {Z}}$ — образи $Y,Z$ у R, то висота ідеалу $({\bar {Y}},\ {\bar {Z}})$ є рівною 0, а оскільки $R/({\bar {Y}},\ {\bar {Z}})\simeq k[[X]]$ то $\operatorname {coht} ({\bar {Y}},\ {\bar {Z}})=\dim k[[X]]=1.$ Тому $\operatorname {ht} ({\bar {Y}},\ {\bar {Z}})+\operatorname {coht} ({\bar {Y}},\ {\bar {Z}})=1<\dim R.$

Розмірність модуля

Якщо R — комутативне кільце і M — R-модуль, розмірність Круля M визначається як розмірність Круля факторкільця по анулятору модуля:

$\operatorname {dim} _{R}M:=\operatorname {dim} (R/\operatorname {Ann} _{R}(M))$

де Ann_R(M) — ядро відображення R → End_R(M) (що зіставляє елементу кільця множення на цей елемент).

Також можна дати означення за допомогою рівностей $\operatorname {dim} _{R}M=\sup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Supp} M}\operatorname {coht} ({\mathfrak {p}})=\sup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} M}\operatorname {coht} ({\mathfrak {p}}),$ де $\operatorname {Supp} M$ — носій модуля, а $\operatorname {Ass} M$— множина асоційованих простих ідеалів модуля.

Див. також

• Висота (теорія кілець)

Джерела

• R. Gordon, J. Ch. Robson, Krull dimension, American Mathematical Society, 1978, ISBN 0-8218-1833-3.
• J. C. McConnell, J. C. Robson, Lance W. Small, Noncommutative Noetherian Rings, American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2169-5.