Розмірність Мінковського

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Розмірність Мінковського (англ. box-counting dimension) обмеженої множини в метричному просторі дорівнює

\lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln(N_\epsilon)}{-\ln(\epsilon)},

де N_\epsilon — мінімальне число множин діаметру \epsilon, якими можна покрити множину.

Якщо границя не існує, то можна розглядати верхню та нижню границі і говорити відповідно про верхню і нижню розмірності Мінковського.

Близьким до розмірності Мінковського поняттям є розмірність Хаусдорфа. У багатьох випадках ці розмірності збігаються, хоча існують множини, для яких вони різні.

Приклади[ред.ред. код]

  • Розмірність скінченної множини дорівнює нулю, оскільки для неї \rho(n) не перевершує кількості елементів у ній.
  • Розмірність відрізка дорівнює 1, тому що необхідно \lceil a/\epsilon\rceil відрізків довжини \epsilon, щоб покрити відрізок довжини a. Таким чином,
    \lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln(N_\epsilon)}{-\ln(\epsilon)}=\lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln a-\ln\epsilon}{-\ln\epsilon}=1,
  • Розмірність квадрата дорівнює 2, так як число квадратиків з діагоналлю 1/n, необхідних, щоб покрити квадрат зі стороною a, становить приблизно a^2n^2.
  • Розмірність фракталу може бути дробовим числом. Так, розмірність кривої Коха дорівнює \ln4/\ln3.
  • Розмірність множини Мінковського \{0,1,\frac12,\frac13,\frac14,\dots\} дорівнює 1/2.

Властивості[ред.ред. код]

  • Розмірність Мінковського скінченного об'єднання множин дорівнює максимуму з їх розмірностей. На відміну від розмірності Хаусдорфа, це невірно для зліченного об'єднання. Наприклад, множина раціональних чисел між 0 і 1 має розмірність Мінковського 1, хоча є зліченним об'єднанням одноелементних множин (розмірність кожної з яких дорівнює 0). Приклад замкнутої зліченної множини з ненульовою розмірністю Мінковського наведений вище.
  • Нижня розмірність Мінковського будь-якої множини більше або дорівнює його розмірності Хаусдорфа.
  • Розмірність Мінковського будь-якої множини дорівнює розмірності Мінковського її замикання. Тому має сенс говорити лише про розмірность Мінковського замкнутих множин.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
  • Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000