Розмірність Мінковського

Розмірність Мінковського (англ. box-counting dimension) обмеженої множини в метричному просторі дорівнює

$\lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln(N_\epsilon)}{-\ln(\epsilon)}$,

де $N_\epsilon$ — мінімальне число множин діаметру $\epsilon$, якими можна покрити множину.

Якщо границя не існує, то можна розглядати верхню та нижню границі і говорити відповідно про верхню і нижню розмірності Мінковського.

Близьким до розмірності Мінковського поняттям є розмірність Хаусдорфа. У багатьох випадках ці розмірності збігаються, хоча існують множини, для яких вони різні.

Приклади

• Розмірність скінченної множини дорівнює нулю, оскільки для неї $\rho(n)$ не перевершує кількості елементів у ній.
• Розмірність відрізка дорівнює 1, тому що необхідно $\lceil a/\epsilon\rceil$ відрізків довжини $\epsilon$, щоб покрити відрізок довжини $a$. Таким чином,

  $\lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln(N_\epsilon)}{-\ln(\epsilon)}=\lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln a-\ln\epsilon}{-\ln\epsilon}=1$,

• Розмірність квадрата дорівнює 2, так як число квадратиків з діагоналлю $1/n$, необхідних, щоб покрити квадрат зі стороною $a$, становить приблизно $a^2n^2$.
• Розмірність фракталу може бути дробовим числом. Так, розмірність кривої Коха дорівнює $\ln4/\ln3$.

Більш детально

Неформальне міркування, що показує це, є наступним. Відрізок можна розбити на 2 частини, подібні вихідному відрізку з коефіцієнтом 1/2. Щоб покрити відрізок множинами діаметром $1/n$, потрібно покрити кожну з половин такими множинами. Але для половини їх потрібно стільки ж, скільки для всього відрізка множини діаметром $2/n$. Тому для відрізка маємо $\rho(n)\approx 2\rho(n/2)$. Тобто, при збільшенні $n$ у два рази $\rho(n)$ збільшується теж у два рази. Іншими словами, $\rho(n)$ — лінійна функція.

Для квадрата аналогічне міркування дає $\rho(n)\approx 4\rho(n/2)$. Тобто, при збільшенні $n$ у два рази $\rho(n)$ збільшується в 4 рази. Іншими словами, $\rho(n)$ - квадратична функція.

Нарешті, крива Коха складається з 4 частин, кожна з яких подібна вихідній кривій з коефіцієнтом 1/3. Тому для неї $\rho(n)\approx 4\rho(n/3)$. Підставляючи $n=3^k$, отримуємо $\rho(3^k)\approx 4\rho(3^{k-1})\approx 4^2\rho(3^{k-2})\approx \dots\approx 4^k\rho(1)=4^{\log_3 n}\rho(1)=n^{\ln4/ln3}\rho(1)$. Звідси випливає, що розмірність дорівнює $\ln4/ln3$.

Формально: нехай n — крок фрактала, на n-му кроці у нас буде $4^{n}$ рівних відрізків, довжиною $3^{-n}$. Візьмемо за ε відрізок довжиною $3^{-n}$, тоді щоб покрити всю криву Коха, нам знадобиться $4^{n}$ відрізків. Для того, щоб виконувалося умова ε → 0, спрямуємо n → n→$\infty$. Отримаємо

  $\lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln(N_\epsilon)}{-\ln(\epsilon)}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln(4^{n})}{-\ln(3^{-n})}=\frac{\ln4}{\ln3}$

• Розмірність множини Мінковського $\{0,1,\frac12,\frac13,\frac14,\dots\}$ дорівнює 1/2.

Властивості

• Розмірність Мінковського скінченного об'єднання множин дорівнює максимуму з їх розмірностей. На відміну від розмірності Хаусдорфа, це невірно для зліченного об'єднання. Наприклад, множина раціональних чисел між 0 і 1 має розмірність Мінковського 1, хоча є зліченним об'єднанням одноелементних множин (розмірність кожної з яких дорівнює 0). Приклад замкнутої зліченної множини з ненульовою розмірністю Мінковського наведений вище.
• Нижня розмірність Мінковського будь-якої множини більше або дорівнює його розмірності Хаусдорфа.
• Розмірність Мінковського будь-якої множини дорівнює розмірності Мінковського її замикання. Тому має сенс говорити лише про розмірность Мінковського замкнутих множин.

Див. також

• Розмірність Хаусдорфа
• Фрактал
• Епсилон-ентропія

Література

• Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
• Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000