Розподіл Лапласа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розподіл Лапласа

Probability density plots of Laplace distributions
Функція розподілу ймовірностей
Cumulative distribution plots of Laplace distributions
Параметри \mu\, параметр локалізації (дійсний)
b > 0\, параметр масштабу (дійсний)
Носій функції x \in [0;\infty)\!
Розподіл ймовірностей \frac{1}{2\,b} \exp \left(-\frac{|x-\mu|}b \right) \,
Функція розподілу ймовірностей (cdf) Дивіться текст
Середнє \mu\,
Медіана \mu\,
Мода \mu\,
Дисперсія 2\,b^2
Коефіцієнт асиметрії 0\,
Коефіцієнт ексцесу 3\,
Ентропія \log(2\,e\,b)
Твірна функція моментів (mgf) \frac{\exp(\mu\,t)}{1-b^2\,t^2}\,\! для |t|<1/b\,
Характеристична функція \frac{\exp(\mu\,i\,t)}{1+b^2\,t^2}\,\!

В теорії імовірності і статистиці Розподіл Лапласа належить до сім'ї неперервних розподілів. Названо на честь французького математика П'єра-Симона Лапласа. Інколи вживають назву подвійний експоненційний розподіл, маючи на увазі, що графік щільності розподілу Лапласа виглядає як симетрично продовжена (на від'ємній півосі) щільність експоненційного розподілу.

Ріниця значень двох незалежних однаково розподілених експоненційних випадкових величин розподілена за розподілом Лапласа, також Броунівський рух в експоненційно розподіленій точці часу розподілений за Лапласом.

Характеристики[ред.ред. код]

Щільність розподілу[ред.ред. код]

Випадкова величина розподілена з розподілом Лапласа, X~Lap(μ,b), має щільність:


    f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp \left( -\frac{|x-\mu|}{b} \right) \,\!

        = \frac{1}{2b} \left\{\begin{matrix} \exp \left( -\frac{\mu-x}{b} \right) & \mbox{if }x < \mu \\[8pt] \exp \left( -\frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{if }x \geq \mu \end{matrix}\right.

де, μ — параметр локалізації і b > 0 параметр масштабу. Якщо μ = 0 і b = 1, додатня частина розподілу є точно половина експоненційного розподілу.

Щільність розподілу Лапласа нагадує щільність нормального розподілу, з тою відмінністю, що вираз щільності нормального розподілу містить квадрат різниці значення і математичного сподівання (μ), а у виразі для щільності Лапласового розподілу модуль цієї різниці. Як наслідок Лапласів розподіл має товстіші хвости в порівнянні з нормальним розподілом.

Функція розподілу[ред.ред. код]

Функцію розподілу легко отримати проінтегрувавши щільність і використовуючи симетричність щільності відносно параметра μ. Функція розподілу має вигляд:


F(x)\, 	= \int_{-\infty}^x \!\!f(u)\,\mathrm{d}u
	= \left\{\begin{matrix} &\frac12 \exp \left( \frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{if }x < \mu \\[8pt] 1-\!\!\!\!&\frac12 \exp \left( -\frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{if }x \geq \mu \end{matrix}\right.


\ \ \ \ \ =0.5\,[1 + \sgn(x-\mu)\,(1-\exp(-|x-\mu|/b))].

Обернене до функції розполу записується:



    F^{-1}(p) = \mu - b\,\sgn(p-0.5)\,\ln(1 - 2|p-0.5|).

Математичне сподівання і дисперсія[ред.ред. код]

В показнику експоненти щільності маємо модуль різниці, тому інтервал (-\infty,+\infty) необхідно розбити на (-\infty,\beta)
і [\beta,+\infty) (функція щільності симетрична відносно цих інтервалів). Інтеграли беруться частинами, при підстановці нескінченостей (\pm\infty) розглядаємо границі вигляду \lim_{x\to\pm\infty}r(x).

\operatorname{E}\xi=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\beta}x e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}x e^{-\alpha(x-\beta)}dx= =\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha} x e^{\alpha(x-\beta)}\bigg|_{-\infty}^{\beta}-\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\beta}e^{\alpha(x-\beta)}dx-\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha} x e^{-\alpha(x-\beta)}\bigg|_{\beta}^{+\infty}+\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha}\int\limits_{\beta}^{+\infty}e^{-\alpha(x-\beta)}dx= =\frac{\beta}{2}-\frac{1}{2\alpha}e^{\alpha(x-\beta)}\bigg|_{-\infty}^{\beta}+\frac{\beta}{2}-\frac{1}{2\alpha}e^{-\alpha(x-\beta)}\bigg|_{\beta}^{+\infty}=\beta-\frac{1}{2\alpha}+\frac{1}{2\alpha}=\beta


\operatorname{E}\xi^{2}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^{2}f(x) dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\beta}x^{2}e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}x^{2}e^{-\alpha(x-\beta)}dx= =\frac{\alpha}{2}\frac{x^{2}e^{\alpha(x-\beta)}}{\alpha}\bigg|_{-\infty}^{\beta}-\frac{\alpha}{2}\frac{2}{\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\beta}x e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\frac{x^{2}e^{-\alpha(x-\beta)}}{-\alpha}\bigg|_{\beta}^{+\infty}+\frac{\alpha}{2}\frac{2}{\alpha}\int\limits_{\beta}^{+\infty}x e^{-\alpha(x-\beta)}dx=\frac{\beta^{2}}{2}-\frac{\beta}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{\beta^{2}}{2}+\frac{\beta}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^{2}}=\beta^{2}+\frac{2}{\alpha^{2}}


\operatorname{D}\xi=\operatorname{E}\xi^{2}-(\operatorname{E}\xi)^{2}=\beta^{2}+\frac{2}{\alpha^{2}}-\beta^{2}=\frac{2}{\alpha^{2}}

Моменти[ред.ред. код]

\operatorname{E}\xi^{k}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^{k}f(x)dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\beta}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx

Застосовуючи формулу інтегрування частинами декілька раз, отримуємо:

\int x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}-\frac{k}{\alpha^{2}}x^{k-1}e^{\alpha(x-\beta)}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}x^{k-2}e^{\alpha(x-\beta)}-\ldots+(-1)^{k-1}\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}x e^{\alpha(x-\beta)}+(-1)^{k}\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}e^{\alpha(x-\beta)}

\int x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=-\frac{1}{\alpha}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}-\frac{k}{\alpha^{2}}x^{k-1}e^{-\alpha(x-\beta)}-\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}x^{k-2}e^{-\alpha(x-\beta)}-\ldots-\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}x e^{-\alpha(x-\beta)}-\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}e^{-\alpha(x-\beta)}

Після підстановок границь інтегрування:

\int\limits_{-\infty}^{\beta}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}\beta^{k}-\frac{k}{\alpha^{2}}\beta^{k-1}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}\beta^{k-2}- \ldots+(-1)^{k-1}\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}\beta+(-1)^{k}\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}

\int\limits_{\beta}^{+\infty}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}\beta^{k}+\frac{k}{\alpha^{2}}\beta^{k-1}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}\beta^{k-2}+\ldots+\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}\beta+\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}

Оскільки перший інтеграл залежить від парності k розглядаються двавипадки: k — парне і k — непарне:

\operatorname{E}\xi^{k}=
\begin{cases} 
  \beta^{k}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{2}}\beta^{k-2}+\ldots+\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k}}, & k=2n \\
  \beta^{k}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{2}}\beta^{k-2}+\ldots+\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k-1}}\beta, & k=2n+1
\end{cases}

Або, в загальному вигляді:

\operatorname{E}\xi^{k}=\sum_{i=0}^{\left \lfloor k/2\right\rfloor}\frac{\beta^{k-2i}}{\alpha^{2i}}\frac{k!}{(k-2i)!}, де \left\lfloor x\right\rfloor — ціла частина x.

Генерація випадкових величин розподілених за Лапласом[ред.ред. код]

Нехай маємо випадкову величину U рівномірно розподілену на інтервалі (-1/2, 1/2], тоді випадкова величина

X=\mu - b\,\sgn(U)\,\ln(1 - 2|U|)

розподілена за розподілом Лапласа з параметрами μ and b. Це видно якщо розглянути функцію обернену до функції розподілу, яка наведена вище.

Випадкову величину   X ~   Lap(0, b) можна також згенерувати як різницю двох н.о.р.  Exp(1/b) випадкових велечин. Або ще випадкову величину   X ~  Lap(0, 1) можна згенерувати як логарифм частки двох н.о.р. рівномірно розподілених випадкових величин.

Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний