Розподіл Максвелла — Больцмана

Розпо́діл Ма́ксвелла — Бо́льцмана визначає ймовірність того, що частинка ідеального газу перебуває в стані з певною енергією.

Ймовірність того, що частинка перебуває в стані з енергією $\varepsilon_k$ згідно з розподілом Больцмана визначається формулою:

$n_k = e^{(\mu-\varepsilon_k)/k_B T}$,

де μ — хімічний потенціал, T — температура, k_B — стала Больцмана.

Хімічний потенціал μ визначається з умови

$\sum_k n_k = 1,$

де N — число частинок.

Розподіл Больцмана справедливий тільки в тих випадках, коли $n_k \ll 1$. Ця умова реалізується при високих температурах.

Граничний випадок квантовомеханічних розподілів

В квантовій статистиці розподіли для ферміонів і бозонів мають різний вигляд і різні властивості. Проте при високій температурі, коли ймовірність знайти частку в будь-якому стані набагато менша за одиницю, як розподіл Фермі-Дірака так і розподіл розподіл Бозе-Ейнштейна переходять в розподіл Больцмана.

Розподіл Больцмана в класичній статистиці

В класичній статистиці частка ідеального газу має лише кінетичну енергію.

Число часток з імпульсами в проміжку $(\mathbf{p}, \mathbf{p} + d\mathbf{p})$ визначається формулою:

$dn_{\mathbf{p}} = \frac{N}{V(2\pi mk_BT)^{3/2}} e^{-p^2/2mk_BT} dp_xdp_ydp_z$,

де m — маса частки.

У випадку коли дана формула виражена через швидкості, а не через імпульси, вона носить назву розподілу Максвелла

$dn_{\mathbf{v}} = \frac{N}{V} \left( \frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2} e^{-mv^2/2k_BT} dv_xdv_ydv_z$.

Розподіл Больцмана в зовнішньому потенціальному полі

У випадку, коли частки ідеального газу перебувають у зовнішньому полі з потенціалом $U(\mathbf{r})$, це збільшує їхню енергію. В такому випадку, розподіл Больцмана визначає залежну від координати густину часток:

$n(\mathbf{r}) = n_0 e^{-U(\mathbf{r})/k_BT}$.

Зокрема, у випадку газу в полі тяжіння Землі це співвідношення визначає барометричну формулу

$n(z) = n_0e^{-mgz/k_BT}$.

Аналогічні формули справедливі для розподілу густини носіїв заряду (електронів чи дірок) у електричному полі в напівпровідникових приладах.

Див. також

• Статистика Фермі-Дірака
• Статистика Бозе-Ейнштейна
• Розподіл Максвелла молекул ідеального газу за швидкостями

Джерела

• Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1976). Теоретическая физика. т. V. Статистическая физика. Часть 1. (російська). Москва: Наука.