Розподіл Максвелла — Больцмана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розподіл Максвелла — Больцмана
Щільність розподілу
Maxwell-Boltzmann distribution pdf.svg
Функція розподілу ймовірностей
Maxwell-Boltzmann distribution cdf.svg
Параметри a>0\,
Носій функції x\in [0;\infty)
Розподіл ймовірностей \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x^2 e^{-x^2/(2a^2)}}{a^3}
Функція розподілу ймовірностей (cdf) \textrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2} a}\right) -\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x e^{-x^2/(2a^2)}}{a}, де erfфункція помилок
Середнє \mu=2a \sqrt{\frac{2}{\pi}}
Медіана
Мода \sqrt{2} a
Дисперсія \sigma^2=\frac{a^2(3 \pi - 8)}{\pi}
Коефіцієнт асиметрії \gamma_1=\frac{2 \sqrt{2} (16 -5 \pi)}{(3 \pi - 8)^{3/2}}
Коефіцієнт ексцесу \gamma_2=4\frac{(-96+40\pi-3\pi^2)}{(3 \pi - 8)^2}
Ентропія \frac{1}{2}-\gamma-\ln(a\sqrt{2\pi})

Розпо́діл Ма́ксвелла — Бо́льцмана визначає ймовірність того, що частинка ідеального газу перебуває в стані з певною енергією.

Ймовірність того, що частинка перебуває в стані з енергією  \varepsilon_k згідно з розподілом Больцмана визначається формулою:

 p_k = n_k/N = e^{(\mu-\varepsilon_k)/k_B T} = Ae^{(-\varepsilon_k)/k_B T},

де μ — хімічний потенціал, T — температура, kB — стала Больцмана, N — число частинок.

A=e^{(\mu)/k_B T} — параметр виродження.

Хімічний потенціал μ визначається з умови

 \sum_k n_k = N. .

Розподіл Больцмана справедливий тільки в тих випадках, коли  p_k \ll 1 . Ця умова реалізується при високих температурах.

Граничний випадок квантовомеханічних розподілів[ред.ред. код]

В квантовій статистиці розподіли для ферміонів і бозонів мають різний вигляд і різні властивості. Проте при високій температурі, коли ймовірність знайти частку в будь-якому стані набагато менша за одиницю, як розподіл Фермі — Дірака так і розподіл розподіл Бозе — Ейнштейна переходять в розподіл Больцмана.

Розподіл Больцмана в класичній статистиці[ред.ред. код]

В класичній статистиці частка ідеального газу має лише кінетичну енергію.

Число часток з імпульсами в проміжку  (\mathbf{p}, \mathbf{p} + d\mathbf{p}) визначається формулою:

 dn_{\mathbf{p}} = \frac{N}{V(2\pi mk_BT)^{3/2}} e^{-p^2/2mk_BT} dp_xdp_ydp_z ,

де m — маса частки.

У випадку коли дана формула виражена через швидкості, а не через імпульси, вона носить назву розподілу Максвелла

 dn_{\mathbf{v}} = \frac{N}{V} \left( \frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2} e^{-mv^2/2k_BT} dv_xdv_ydv_z .

Розподіл Больцмана в зовнішньому потенціальному полі[ред.ред. код]

У випадку, коли частки ідеального газу перебувають у зовнішньому полі з потенціалом U(\mathbf{r}), це збільшує їхню енергію. В такому випадку, розподіл Больцмана визначає залежну від координати густину часток:

 n(\mathbf{r}) = n_0 e^{-U(\mathbf{r})/k_BT} .

Зокрема, у випадку газу в полі тяжіння Землі це співвідношення визначає барометричну формулу

 n(z) = n_0e^{-mgz/k_BT} .

Аналогічні формули справедливі для розподілу густини носіїв заряду (електронів чи дірок) у електричному полі в напівпровідникових приладах.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1 // Теоретическая физика. — М.: Физматлит, 2005. — Т. 5. — 616 с.

Посилання[ред.ред. код]