Розподіл хі-квадрат

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Хі-квадрат

k — кількість ступенів вільності
Функція розподілу ймовірностей
k — кількість ступенів вільності
Параметри k\in N_1 — ступенів свободи
Носій функції x \in [0, +\infty)
Розподіл ймовірностей \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\; x^{k/2-1} e^{-x/2}\,
Функція розподілу ймовірностей (cdf) \frac{1}{\Gamma(k/2)}\;\gamma(k/2,\,x/2)
Середнє k
Медіана \approx k\bigg(1-\frac{2}{9k}\bigg)^3
Мода max{ k − 2, 0 }
Дисперсія 2k
Коефіцієнт асиметрії \scriptstyle\sqrt{8/k}\,
Коефіцієнт ексцесу 12 / k
Ентропія \frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)
Твірна функція моментів (mgf) (1 − 2 t)k/2   for  t  < ½
Характеристична функція (1 − 2 it)k/2      [1]

Розподіл хі-квадрат (χ²-розподіл) з 'n' ступенями вільності — неперервний розподіл, що визначається як розподіл суми квадратів 'n' незалежних випадкових величин з стандартним нормальним розподілом. Тобто якщо ξ1, ..., ξn — незалежні стандартні нормальні випадкові величини, то випадкова величина Xn212+...+ξn2 матиме розподіл хі-квадрат з 'n' ступенями вільності.

Розподіл хі-квадрат є одним з найважливіших у статистиці. Зокрема він використовується у критеріях хі-квадрат (наприклад критерії узгодженості Пірсона).

Розподіл хі-квадрат є частковим випадком гамма-розподілу.

Розподіл хі-квадрат[ред.ред. код]

Щільність імовірності[ред.ред. код]

Розподіл хі-квадрат зосереджений на додатній пів-осі і має щільність:

P_{x^2}(n)(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{if }x<0 \\ \frac{1}{\Gamma(n/2)2^{n/2}}x^{n/2-1}e^{-x/2}, & \mbox{if }x \ge \ 0 \end{cases},

де \Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty} t^{\alpha -1}e^{-t}\, dxгамма-функція.

Функція розподілу[ред.ред. код]

Функція розподілу хі-квадрат розподілу записується

\frac{1}{\Gamma(k/2)}\;\gamma(k/2,\,x/2)

При n>+2 χ2-розподіл має моду в точці x = n - 2. Характеристична функція χ2-розподілу має вигляд f(t)=(1-2it)-n/2.
Математичне сподівання і дисперсія розподілу хі-квадрат рівні, відповідно, n і 2n.

Властивості χ2-розподілу[ред.ред. код]

  • Розподіл хі-квадрат є стійким відносно додавання. Якщо Y1, Y2 незалежні, і Y_1  \sim  \chi^2(n_1),  Y_2  \sim  \chi^2(n_2)\,, то Y_1+Y_2  \sim  \chi^2(n_1+n_2)\,
  • З визначення легко отримати моменти розподілу хі-квадрат. Якщо Y  \sim  \chi^2(n) то E[Y]=n D[Y]=2n
    .
  • Через центральну граничну теорему, при великому числі ступенів вільності розподіл випадкової величини Y  \sim  \chi^2(n) може бути наближене нормальним Y \approx N(n,2n). Точніше \frac {Y-n}{\sqrt{2n}} \to N(0,1) по розподілу при n \to \infty.

Додаток[ред.ред. код]

Сума незалежних випадкових величин Xn12+...+Xnk2 з n1, n2 ..., nk ступенями вільності, відповідно, підкоряється хі-квадрат розподілу з n = n1 + n2 + ... + nk ступенями вільності. Завдяки тісному зв'язку з нормальним розподілом χ2-розподіл грає важливу роль в теорії ймовірностей і математичній статистиці. χ2-розподіл, і багато інших розподілів, які визначаються за допомогою χ2-розподілу (наприклад — розподіл Стьюдента), описують вибіркові розподіли різних функцій від нормально розподілених результатів спостережень і використовуються для побудови довірчих інтервалів і статистичних критеріїв.

Так, наприклад, для незалежних випадкових величин x1, x2 ..., xn з однаковим нормальним розподілом з математичним сподіванням а і дисперсією δ2 відношення s22 ,
де s=\sqrt \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-x_{cp})^2}{n-1}, x_{cp}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}
підкоряється χ2-розподілу з n - 1 ступенями вільності при будь-яких значеннях а і δ2. Цей результат покладений в основу побудови довірчих інтервалів і критерію для перевірки гіпотези про невідоме значення дисперсії у разі, коли середнє значення випадкової величини також невідоме (перевірка статистичних гіпотез і інтервальна статистична оцінка).

Особливу популярність у зв'язку з хі-квадрат розподілом отримав критерій хі-квадрат, заснований на так званій хі-квадрат статистиці Пірсона. Є детальні таблиці χ2-розподілу, зручні для статистичних розрахунків. При великих обсягах вибірок використовують апроксимацію за допомогою нормального розподілу. При n \to \infty, згідно з центральною граничною теоремою, розподіл нормальної величини прагне до нормального розподілу.

Вперше χ2-розподіл було розглянуто Р.Хельмертом (1876) і Карлом Пірсоном (1900).

Посилання[ред.ред. код]

  • William G. Cochran, Annals Math. Stat. 23 (1952), 315-345
  1. M.A. Sanders. «Characteristic function of the central chi-square distribution». Архів оригіналу за 2013-07-07. Процитовано 2009-03-06. (англ.)
Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний