Розподіл Ґіббса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Розподіл Ґіббса — розподіл, що визначає кількості частинок в різних квантових станах. Ґрунтується на таких постулатах статистики:

  1. Всі доступні мікростани системи рівноймовірні.
  2. Рівновазі відповідає найімовірніший розподіл (підсистем за станами).
  3. Ймовірність перебування підсистеми в деякому стані визначається лише енергією стану.

Розподіл Ґіббса являє собою найзагальнішу і зручну основу для побудови рівноважної статистичної механіки.

Кількісний розгляд[ред.ред. код]

Статистична сума

G=\frac{N!}{N_1!N_2!\dots},\qquad(0)

як і в термодинаміці, має зміст відносної ймовірність знаходження системи в певному микростанів. І, дивлячись на співвідношення Больцмана S=k\ln G, легко зрозуміти, що станом з мінімальною ентропією відповідає мінімальна статистична вага. Потрібно врахувати, що в системі постійні число частинок

\sum\limits_i{N_i}=N=\mathrm{const}\qquad(1)

і повна енергія

\sum\limits_i{N_i\varepsilon_i}=E=\mathrm{const}.\qquad(2)

Факторіал великих чисел (а числа N і N_i великі; тими з них, які малі, можна знехтувати) находится за формулою Стірлінга: N!=\sqrt{2\pi N}\left(\frac{N}{e}\right)^N\exp\left(\frac{\vartheta}{12N}\right), де 0<\vartheta<1. Цю точну формулу можна замінити наближеною

N!=\sqrt{2\pi N}\left(\frac{N}{e}\right)^N,\qquad(3)

так як відносна помилка в обчисленнях за цією формулою не перевершує e^\frac{1}{12N}-1\approx\frac{1}{12N}, вже при n=10 вона менше одного відсотока. Із співвідношень (0), (1) і (3) випливає наступне:

G=\frac{N!}{\prod\limits_i\sqrt{2\pi N_i}N_i^{N_i}e^{-N_i}}=\frac{N!\cdot\prod\limits_i e^{-N_i}}{\left(\prod\limits_i\sqrt{2\pi}\right)\left(\prod\limits_i\sqrt{N_i}N_i^{N_i}\right)}=\frac{\dfrac{N!\cdot e^{-\sum\limits_i N_i}}{\left(2\pi\right)^{0{,}5N}}}{\prod\limits_i\sqrt{N_i}N_i^{N_i}}=\frac{\dfrac{N!\cdot e^{-\sum\limits_i N_i}}{\left(2\pi\right)^{0{,}5N}}}{\prod\limits_i N_i^{N_i+0{,}5}}.

Чисельник тут є функція від N, і можна ввести позначення

C(N)=\frac{N!\cdot e^{-\sum\limits_i N_i}}{(2\pi)^{0{,}5N}},

що дає

G=\frac{C(N)}{\prod\limits_i N_i^{N_i+0{,}5}}.\qquad(4)

Тоді з формули Больцмана S=k\ln G слідує

S=-k\sum\limits_i((N_i+0{,}5)\ln N_i)+\mathrm{const}.

Тут можна знехтувати 0,5 порівняно з N_i. Тоді

S=-k\sum\limits_i(N_i\ln N_i)+\mathrm{const}.\qquad(5)

Максимум ентропії (5) із урахуванням співвідношеньий (1) і (2), використовуючи метод невизначених множників, буде при умовах

\sum\ln N_i\,dN_i=0,\;\sum dN_i=0,\;\sum\varepsilon_i\,dN_i=0.

Отсюда \sum(\ln N_i+\beta+\alpha\varepsilon_i)\,dN_i=0, де \alpha и \beta — множники Лагранжа, не залежні від змінних N_i. У системі є m змінні і три рівняння - отже, будь-які дві залежать від інших; відповідно можна вважати залежними N_1 та N_2 і вибрати множники Лагранжа так, щоб коефіцієнти при dN_1 и dN_2 звернулися в 0. Тоді при інших dN_i змінні N_3, N_4, … можна прийняти за незалежні, і при них коефіцієнти також будуть рівні 0. Так отримано

\ln N_i+\beta+\alpha\varepsilon_i=0,

звідси

\bar N_i=N_0 e^{-\alpha\varepsilon_i},

де N_0=e^{-\beta} — нова константа.

Для визначення сталої \alpha можна скласти систему в теплопровідні стінки і квазістатично змінювати її температуру. Зміна енергії газ а одно dE=\sum\varepsilon_i\,d\bar N_i, а зміна ентропії (зі співвідношення (5)) дорівнює dS=-k\sum\ln\bar N_i\,d\bar N_i=k\alpha\sum\varepsilon_i\,d\bar N_i. Так як dE=T\,dS, то звідси \alpha=\frac{1}{kT}, і тому

\bar N_i=N_0 e^{-\frac{\varepsilon_i}{kT}}.\qquad(6)

Термостат[ред.ред. код]

Отримано найбільш ймовірне розподіл системи. Для довільної макроскопічної системи (системи в термостаті), оточеній протяжної середовищем (термостатом), температура якої підтримується постійною, виконується співвідношення (6) - розподіл Гіббса: їм визначається відносна ймовірність того, що система при термодинамічній рівновазі знаходиться в i-ом квантовом состоянии.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Базаров И. П., Геворкян Э. В., Николаев П. Н. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. — М.: МГУ, 1986. — 312 с.
  • Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. Статистическая физика. — Том 2. — М.: УРСС, 2002. — 430 с.
  • Кубо Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1967. — 452 c.
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. — В 5 т. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
  • Терлецкий Я. П. Статистическая физика. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1973. — 277 c.