Розширення Галуа

Розширення Галуа — алгебраїчне розширення поля E/K, що є нормальним і сепарабельним.

За цих умов E матиме найбільшу кількість автоморфізмів над K. Група автоморфізмів E/K, це автоморфізми E, які переводять елементи K самі в себе. Позначається Aut(E/K). Якщо розширення є розширенням Галуа, то позначається Gal(E/K) або G(E/K).

Якщо E — скінченне розширення, то кількість автоморфізмів також скінченна і рівна степеню розширення [E:K].

Якщо Gal(E/K) абелева, циклічна і т.д., то розширення Галуа називається відповідно абелевим, циклічним і т.д.

Іноді розглядають групу Галуа для розширення E, яке є сепарабельним, але необов'язково нормальним. В цьому випадку під групою Галуа E/K розуміють групу Gal(M/K) , де M — нормальне замикання K, що містить E (у скінченному випадку, коли сепарабельне розширення є простим E=K(α) для деякого α, що є коренем незвідного многочлена f(x) над K. Mє полем розкладу цього многочлена).

Див. також

• Абелеве розширення
• Нормальне розширення
• Сепарабельне розширення
• Теорія Галуа

Література

• Ленг С. (1968). Алгебра. Москва: Мир. с. 564. 
• ван дер Варден Б.Л. (1975). Алгебра. Москва: Наука. с. 623. ISBN 5-8114-0552-9. 
• Зарисский О., Самюэль П. (1963). Коммутативная алгебра. том I. Москва: ИЛ. с. 373.