Ряд Дайсона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ряд Дайсона — ряд збурень у теорії розсіяння, кожен із членів якого можна зобразити у вигляді діаграми Фейнмана. Ряд носить ім'я Фрімена Дайсона і є загалом розбіжним, однак, уже другий член цього ряду в квантовій електродинаміці дозволяє отримати точність до 10−10 завдяки малості сталої тонкої структури.

Побудова ряду Дайсона використовує поняття часового упорядкування.

Система[ред.ред. код]

Вивчається система, що описується гамільтоніаном, який є сумою незбуреної частини й збурення:

 \hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{V}

У зображенні взаємодії оператор еволюції хвильової функції  \hat{U}(t, t_0) задовольняє рівнянню Томонаги-Швінгера

 i\hbar \frac{\hat{U}(t, t_0)}{dt} = \hat{V}(t)\hat{U}(t, t_0) ,

де

 \hat{V}(t)  = e^{i/\hbar \hat{H}_0 t} \hat{V} e^{-i/\hbar \hat{H}_0 t},

або інтегродиференціальному рівнянню

 \hat{U}(t, t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t \hat{V}(t_1)\hat{U}(t_1, t_0) dt_1

Підставляючи оператор еволюції з лівої частини в праву можна отримати нескінченний ряд:

 \hat{U}(t, t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t \hat{V}(t_1) dt_1 + \frac{(-i)^2}{\hbar^2} \int_{t_0}^t \int_{t_0}^{t_1} \hat{V}(t_1) \hat{V}(t_2) dt_1 dt_2 + \ldots

Пропозиція Дайсона[ред.ред. код]

Дайсон запропонував розширити інтегрування в кожному інтегралі від  t_0 до  t_0 , але вимагати, щоб оператори завжди були упорядковані в часі, тобто в добутку  \hat{V}(t_1) \hat{V}(t_2) , наприклад, завжди було  t_1 > t_2. Тоді кожен із доданків ряду збільшиться в  n! разів.

Як наслідок n-ний член ряду матиме вигляд:

\hat{U}_n=\frac{(-i)^n}{ n! \hbar^n}\int_{t_0}^t{dt_1\int_{t_0}^t{dt_2\cdots\int_{t_0}^t{dt_n\mathcal T\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)\cdots \hat{V}(t_n)}}}.,

де  \mathcal T - оператор часового упорядкування.

Як наслідок, ряд Дайсона можна записати в компактному вигляді:

\hat{U}(t,t_0)=\sum_{n=0}^\infty \hat{U}_n(t,t_0)=\mathcal Te^{-i/\hbar \int_{t_0}^t{d\tau \hat{V}(\tau)}}.

Джерела[ред.ред. код]

  • А. Г. Ситенко (1971). Лекции по теории рассеяния. Київ: Вища школа.