Ряд Дайсона

Ряд Дайсона — ряд збурень у теорії розсіяння, кожен із членів якого можна зобразити у вигляді діаграми Фейнмана. Ряд носить ім'я Фрімена Дайсона і є загалом розбіжним, однак, уже другий член цього ряду в квантовій електродинаміці дозволяє отримати точність до 10⁻¹⁰ завдяки малості сталої тонкої структури.

Побудова ряду Дайсона використовує поняття часового упорядкування.

Система

Вивчається система, що описується гамільтоніаном, який є сумою незбуреної частини й збурення:

$\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{V}$

У зображенні взаємодії оператор еволюції хвильової функції $\hat{U}(t, t_0)$ задовольняє рівнянню Томонаги-Швінгера

$i\hbar \frac{\hat{U}(t, t_0)}{dt} = \hat{V}(t)\hat{U}(t, t_0)$,

де

$\hat{V}(t) = e^{i/\hbar \hat{H}_0 t} \hat{V} e^{-i/\hbar \hat{H}_0 t},$

або інтегродиференціальному рівнянню

$\hat{U}(t, t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t \hat{V}(t_1)\hat{U}(t_1, t_0) dt_1$

Підставляючи оператор еволюції з лівої частини в праву можна отримати нескінченний ряд:

$\hat{U}(t, t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t \hat{V}(t_1) dt_1 + \frac{(-i)^2}{\hbar^2} \int_{t_0}^t \int_{t_0}^{t_1} \hat{V}(t_1) \hat{V}(t_2) dt_1 dt_2 + \ldots$

Пропозиція Дайсона

Дайсон запропонував розширити інтегрування в кожному інтегралі від $t_0$ до $t_0$, але вимагати, щоб оператори завжди були упорядковані в часі, тобто в добутку $\hat{V}(t_1) \hat{V}(t_2)$, наприклад, завжди було $t_1 > t_2$. Тоді кожен із доданків ряду збільшиться в $n!$ разів.

Як наслідок n-ний член ряду матиме вигляд:

$\hat{U}_n=\frac{(-i)^n}{ n! \hbar^n}\int_{t_0}^t{dt_1\int_{t_0}^t{dt_2\cdots\int_{t_0}^t{dt_n\mathcal T\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)\cdots \hat{V}(t_n)}}}.$,

де $\mathcal T$ - оператор часового упорядкування.

Як наслідок, ряд Дайсона можна записати в компактному вигляді:

$\hat{U}(t,t_0)=\sum_{n=0}^\infty \hat{U}_n(t,t_0)=\mathcal Te^{-i/\hbar \int_{t_0}^t{d\tau \hat{V}(\tau)}}.$

Джерела

• А. Г. Ситенко (1971). Лекции по теории рассеяния. Київ: Вища школа.