Ряд Діріхле

Рядом Діріхле називається ряд виду

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s},$

де s і a_n — комплексні числа, n = 1, 2, 3, … .

Абсцисою збіжності ряду Діріхле називається таке число $\sigma_c$, що при $\operatorname{Re},s>\sigma_c$ він збігається; абсцисою абсолютної збіжності називається таке число $\sigma_a$, що при $\operatorname{Re},s>\sigma_a$ ряд абсолютно збіжним. Для будь-якого ряду Діріхле справедливе співвідношення $0\leqslant\sigma_a-\sigma_c\leqslant 1$ (якщо $\sigma_c$ і $\sigma_a$ скінченні).

Цей ряд відіграє значну роль в теорії чисел. Найпоширенішим прикладом ряду Діріхле є дзета-функція Рімана, а також L-функція Діріхле. Ряд названий в честь Густава Діріхле.

Приклади

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s},$

Де ζ(s) — дзета-функція Рімана.

$\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}$

де μ(n) — функція Мебіуса.

$\frac{1}{L(\chi,s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)\chi(n)}{n^s}$

де L(χ,s) — L-функція Діріхле.

Похідні

Нехай

$F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}$

Тоді можна довести

$F'(s) =-\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\log(n)}{n^s}$

у випадку збіжності правої сторони. Для цілком мультиплікативної функції ƒ(n), у випадку збіжності для Re(s) > σ₀, тоді

$\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}$

збігається для Re(s) > σ₀. В даній формулі, $\scriptstyle\Lambda(n)$ позначає функцію фон Мангольдта.

Добуток рядів

Нехай маємо ряди

$F(s)= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)n^{-s}$

і

$G(s)= \sum_{n=1}^{\infty} g(n)n^{-s}.$

Якщо F(s) і G(s) є абсолютно збіжними для s > a і s > b відповідно, тоді:

$\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\,F(a+it)G(b-it)\,dt= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)g(n)n^{-a-b} \text{ as }T \sim \infty.$

Якщо a = b і ƒ(n) = g(n) то

$\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|F(a+it)|^{2} dt= \sum_{n=1}^{\infty} [f(n)]^{2}n^{-2a} \text{ as } T \sim \infty.$

Література

• Мандельбройт С. Ряды Дирихле, — М.: Мир, 1973
• Tom M. Apostol (1989), Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97127-8