Ряд Діріхле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рядом Діріхле називається ряд виду

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s},

де s і anкомплексні числа, n = 1, 2, 3, … .

Абсцисою збіжності ряду Діріхле називається таке число \sigma_c, що при \operatorname{Re},s>\sigma_c він збігається; абсцисою абсолютної збіжності називається таке число \sigma_a, що при \operatorname{Re},s>\sigma_a ряд абсолютно збіжним. Для будь-якого ряду Діріхле справедливе співвідношення 0\leqslant\sigma_a-\sigma_c\leqslant 1 (якщо \sigma_c і \sigma_a скінченні).

Цей ряд відіграє значну роль в теорії чисел. Найпоширенішим прикладом ряду Діріхле є дзета-функція Рімана, а також L-функція Діріхле. Ряд названий в честь Густава Діріхле.

Приклади[ред.ред. код]

\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s},

Де ζ(s)дзета-функція Рімана.

\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}

де μ(n)функція Мебіуса.

\frac{1}{L(\chi,s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)\chi(n)}{n^s}

де L(χ,s)L-функція Діріхле.

Похідні[ред.ред. код]

Нехай

F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}

Тоді можна довести

F'(s) =-\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\log(n)}{n^s}

у випадку збіжності правої сторони. Для цілком мультиплікативної функції ƒ(n), у випадку збіжності для Re(s) > σ0, тоді

\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}

збігається для Re(s) > σ0. В даній формулі, \scriptstyle\Lambda(n) позначає функцію фон Мангольдта.

Добуток рядів[ред.ред. код]

Нехай маємо ряди

 F(s)= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)n^{-s}

і

 G(s)= \sum_{n=1}^{\infty} g(n)n^{-s}.

Якщо F(s) і G(s) є абсолютно збіжними для s > a і s > b відповідно, тоді:

 \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\,F(a+it)G(b-it)\,dt= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)g(n)n^{-a-b} \text{ as }T \sim \infty.

Якщо a = b і ƒ(n) = g(n) то

 \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|F(a+it)|^{2} dt= \sum_{n=1}^{\infty} [f(n)]^{2}n^{-2a} \text{ as } T \sim \infty.

Література[ред.ред. код]

  • Мандельбройт С. Ряды Дирихле, — М.: Мир, 1973
  • Tom M. Apostol (1989), Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97127-8