Ряд Лорана

Розклад в ряд Лорана можливий у деякому скінченому кільці, з центром в точці c. Шлях інтегрування γ обирається з кільця, і від вибору того чи іншого шляху інтегрування у фіксованому кільці коефіцієнти розкладу не змінюються.

Ряд Лорана — розклад комплексної функції f(z) у двосторонній степеневий ряд, що також містить доданки від'ємного степеня. Використовується для вираження комплексної функції у випадках, коли розклад в ряд Тейлора не може бути використаним. Ряди Лорана названі на честь П'єра Альфонса Лорана, що вперше опублікував свої дослідження цих рядів у 1843 році. Карл Вейєрштрасс, можливо, використовував ці ряди ще у 1841 році, але не опублікував своїх результатів.

Для комплексної функції f(z), аналітичної у скінченому кільці з центром в точці c, в довільній точці кільця виконується:

$f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n$

де члени ряду a_n визначаються за формулою:

$a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}.\,$

Шлях інтегрування γ є довільним замкненим контуром, що лежить в кільці і містить точку с.

Властивості

• Головною частиною ряду Лорана називаються члени з від'ємними степенями:

$\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}{(z-a)^{(-n)}}$

• Правильною частиною (Тейлорівською частиною) ряду Лорана називаються члени з невід'ємними степенями:

$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n$

• Якщо ряд Лорана збігається, то його внутрішність області збіжності є кільцем:

$D= \{z\in\mathbb C|r<|z-a|<R<\infty\}$

• В своємі кільці збіжності $D$ ряд Лорана збігається абсолютно.

• Функція f(z) допускає єдиний розвиток в ряд Лорана в певній точці (якщо він існує).

Теорема Лорана

Функція f(z) однозначна і аналітична в скінченому кільці $D= \{z\in\mathbb C|r<|z-a|<R<\infty\}$ в довільній точці цього кільця допускає розвинення в збіжний ряд Лорана.

Ряд Лорана є зручним інструментом для оцінки поведінки функції в околі ізольованої особливої точки. В залежності від головної частини ряду, особливу точку визначають як:

• усувна особлива точка, якщо головна частина не містить ненульових членів;

• простий полюс, якщо головна частина має скінчену кількість членів;

• істотньо особлива точка, якщо головна частина має нескінчену кількість членів.

Приклади

Знайти розклад в ряд Лорана в точці $z - i$ функції

$\frac{1}{z^2 + 1}.$

Спочатку відзначимо

$\frac{1}{z^2 + 1} =\frac{1}{(z-i)(z+i)}.$

Далі,

$\frac{1}{z + i} = \frac{1} {2i + (z -i)}= -\frac{i} {2}\frac{1}{1-\frac{i}{2}(z - i)}.$

Останній дріб може бути розкладений у геометричну прогресію відносно $z - i$,

$\frac{1}{1-\frac{i}{2}(z - i)}=1+\frac{i}{2}(z - i)+\left(\frac{i}{2}(z - i)\right)^2+\left(\frac{i}{2}(z - i)\right)^3+\cdots$

Множимо прогресію на -i/2, і ділимо обидві частини на z - i:

$\frac{1}{z^2 + 1}=-\left(\frac{i}{2}\right)\frac{1}{z-i}-\left(\frac{i}{2}\right)^2-\left(\frac{i}{2}\right)^3(z-i)-\left(\frac{i}{2}\right)^4(z-i)^2-\cdots$

У якості другого прикладу можна розкласти в ряд Лорана квадрат вищерозглянутої функції

$\frac{1}{(z^2 + 1)^2}.$

Для цього необхідно піднести до квадрата отриману для попереднього прикладу прогресію. Зазвичай, піднесення до степеня нескінченної прогресії є складною операцією. Однак для обчислення перших $n$ членів ряду Лорана, нам достатньо перемножити між собою перші $n$ членів вихідної прогресії:

$\frac{-1}{4(z - i)^2} - \frac{i}{4(z - i)} + \frac{3}{16}+\cdots$