Ряд Лорана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розклад в ряд Лорана можливий у деякому скінченому кільці, з центром в точці c. Шлях інтегрування γ обирається з кільця, і від вибору того чи іншого шляху інтегрування у фіксованому кільці коефіцієнти розкладу не змінюються.

Ряд Лорана — розклад комплексної функції f(z) у двосторонній степеневий ряд, що також містить доданки від'ємного степеня. Використовується для вираження комплексної функції у випадках, коли розклад в ряд Тейлора не може бути використаним. Ряди Лорана названі на честь П'єра Альфонса Лорана, що вперше опублікував свої дослідження цих рядів у 1843 році. Карл Вейєрштрасс, можливо, використовував ці ряди ще у 1841 році, але не опублікував своїх результатів.

Для комплексної функції f(z), аналітичної у скінченому кільці з центром в точці c, в довільній точці кільця виконується:

f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n

де члени ряду an визначаються за формулою:

a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}.\,

Шлях інтегрування γ є довільним замкненим контуром, що лежить в кільці і містить точку с.

Властивості[ред.ред. код]

  • Головною частиною ряду Лорана називаються члени з від'ємними степенями:
\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}{(z-a)^{(-n)}}
  • Правильною частиною (Тейлорівською частиною) ряду Лорана називаються члени з невід'ємними степенями:
\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n
  • Якщо ряд Лорана збігається, то його внутрішність області збіжності є кільцем:
D= \{z\in\mathbb C|r<|z-a|<R<\infty\}
  • В своємі кільці збіжності D ряд Лорана збігається абсолютно.
  • Функція f(z) допускає єдиний розвиток в ряд Лорана в певній точці (якщо він існує).

Теорема Лорана[ред.ред. код]

Функція f(z) однозначна і аналітична в скінченому кільці D= \{z\in\mathbb C|r<|z-a|<R<\infty\} в довільній точці цього кільця допускає розвинення в збіжний ряд Лорана.

Ряд Лорана є зручним інструментом для оцінки поведінки функції в околі ізольованої особливої точки. В залежності від головної частини ряду, особливу точку визначають як:

  • усувна особлива точка, якщо головна частина не містить ненульових членів;
  • простий полюс, якщо головна частина має скінчену кількість членів;
  • істотньо особлива точка, якщо головна частина має нескінчену кількість членів.

Приклади[ред.ред. код]

Знайти розклад в ряд Лорана в точці z - i функції

\frac{1}{z^2 + 1}.

Спочатку відзначимо

\frac{1}{z^2 + 1} =\frac{1}{(z-i)(z+i)}.

Далі,

\frac{1}{z + i} =  \frac{1} {2i + (z -i)}= -\frac{i} {2}\frac{1}{1-\frac{i}{2}(z - i)}.

Останній дріб може бути розкладений у геометричну прогресію відносно z - i,

\frac{1}{1-\frac{i}{2}(z - i)}=1+\frac{i}{2}(z - i)+\left(\frac{i}{2}(z - i)\right)^2+\left(\frac{i}{2}(z - i)\right)^3+\cdots

Множимо прогресію на -i/2, і ділимо обидві частини на z - i:

\frac{1}{z^2 + 1}=-\left(\frac{i}{2}\right)\frac{1}{z-i}-\left(\frac{i}{2}\right)^2-\left(\frac{i}{2}\right)^3(z-i)-\left(\frac{i}{2}\right)^4(z-i)^2-\cdots

У якості другого прикладу можна розкласти в ряд Лорана квадрат вищерозглянутої функції

\frac{1}{(z^2 + 1)^2}.

Для цього необхідно піднести до квадрата отриману для попереднього прикладу прогресію. Зазвичай, піднесення до степеня нескінченної прогресії є складною операцією. Однак для обчислення перших n членів ряду Лорана, нам достатньо перемножити між собою перші n членів вихідної прогресії:

\frac{-1}{4(z - i)^2} - \frac{i}{4(z - i)} + \frac{3}{16}+\cdots