Ряд Фарея

Якщо невід'ємні нескорочувані правильні дроби зі знаменником, який не перевищує $n$ , розташувати у порядку зростання, то отримана послідовність називається рядом Фарея порядку $n$ . Наприклад, ряд Фарея порядку 5:

$F_5=\left\{\frac{0}{1},\;\frac{1}{5},\;\frac{1}{4},\;\frac{1}{3},\;\frac{2}{5},\;\frac{1}{2},\;\frac{3}{5},\;\frac{2}{3},\;\frac{3}{4},\;\frac{4}{5},\;\frac{1}{1}\right\}.$

Властивості ряду Фарея:
1) Якщо $\frac{a}{b}$ і $\frac{a'}{b'}$ — два послідовних члена ряду Фарея, то $ba'-ab'=1.$
2) Якщо $\frac{a}{b}$ , $\frac{a''}{b''}$ і $\frac{a'}{b'}$ — три послідовних члена ряду Фарея, то $\frac{a''}{b''}=\frac{a+a'}{b+b'}$ .
3) Число членів ряду Фарея порядку $n$ дорівнює $1+\sum_{m=1}^n \varphi(m),$ де $\varphi(m)$ — функція Ейлера (кількість додатних цілих чисел, які не перевищують $m$ і взаємно прості з $m$ ).