Ряд Фур'є

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ряд Фур'є — в математиці — спосіб представлення довільної складної функції сумою простіших. В загальному випадку кількість таких функцій може бути нескінченною, при цьому чим більше таких функцій враховується при розрахунку, тим вищою стає кінцева точність представлення даної функції. В більшості випадків в якості найпростіших використовуються тригонометричні функції синуса і косинуса. В цьому випадку ряд Фур'є називаеться тригонометричним, а обчислення такого ряду часто називають розкладом на гармоніки.

Ряди названі на честь французького математика Жана Батиста Жозефа Фур'є.

Зміст

1 Визначення
- 1.1 Класичне визначення
- 1.2 Загальне визначення
2 Збіжність ряду Фур'є
3 Достатні ознаки розкладу функції в ряд Фур'є
4 Ряди Фур'є для парних і непарних функцій
5 Комплексна форма ряду Фур'є
6 Формули дискретного перетворення Фур'є
7 Див. також
8 Література
9 Зовнішні посилання
10 Примітки

[ред.] Визначення

[ред.] Класичне визначення

Тригонометричним рядом Фур'є називають функційний ряд виду

$\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \big[ a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \big]$

Якщо ряд збігається, то його сума дорівнює періодичній функції $\ f(x)$ з періодом $\ 2\pi$ , оскільки $\ \sin nx$ та $\ \cos nx$ є періодичними з періодом $\ 2\pi$ .

Сталі числа $\ a_0, a_n, b_n \;\; (n \in \mathbb{N})$ називаються коефіцієнтами тригонометричного ряду:

$a_n= \frac1{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)dx, \qquad b_n= \frac1{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)dx.$

[ред.] Загальне визначення

Нехай дано ортогональну систему в Гільбертовому просторі $R$ $\{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\}$ та $\ f$ — довільний елемент з $R$ . Послідовність чисел

$c_k =\frac{\langle f, \varphi_k \rangle}{||\varphi_k||^2}$

називається координатами, або коефіцієнтами Фур'є елемента $f$ по системі $\{\varphi_k\}$ , а ряд

$\sum_k c_k \varphi_k$

називається рядом Фур'є елемента $\ f$ по ортогональній системі $\{\varphi_k\}$ .

Справедлива так звана нерівність Бесселя:

$\sum_{k=1}^\infty c_k^2 \le ||f||^2.$

Якщо виконується рівність Парсеваля

$\sum_{k=1}^\infty c_k^2 = ||f||^2$ ,

то нормована система $\{\varphi_k\}$ називається замкненою.

Справедливе твердження: в сепарабельному евклідовому просторі $R$ будь-яка повна ортогональна нормована система є замкненою і навпаки.

[ред.] Збіжність ряду Фур'є

Докладніше у статті: Ознака Діні

Збіжність ряду Фур'є

Теорема:

Якщо періодична функція $f(x)\!$ з періодом $2\pi\!$ — кусково-монотонна^[1] і обмежена на відрізку $[-\pi, \pi]\!$ , то тригонометричний ряд Фур'є, побудований для цієї функції, збігається у всіх точках. Сума одержаного ряду $s(x)\!$ дорівнює значенню функції $f(x)\!$ в точках її неперервності. В точках розриву $f(x)\!$ сума ряду дорівнює середньому арифметичному границь функції $f(x)\!$ справа і зліва.

З цієї теореми випливає, що тригонометричні ряди Фур'є застосовні до достатньо широкого класу функцій.

[ред.] Достатні ознаки розкладу функції в ряд Фур'є

Точку $x 0$ розриву функції $f(x)\!$ називають точкою розриву першого роду, якщо існують кінцеві межі справа і зліва від цієї функції в даній точці.

ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Якщо $f(x)\!$ періодична з періодом $2\pi\!$ , функція неперервна або має кінцеву кількість точок розриву 1-ого роду на відрізку $[-\pi, \pi]\!$ і цей відрізок можна розбити на кінцеву кількість частин, в кожній з яких $f(x)\!$ монотонна, то ряд Фур'є відносно функції збігається до $f(x)\!$ в точках неперервності і до середньоарифметичного односторонніх меж в точках розриву роду.

[ред.] Ряди Фур'є для парних і непарних функцій

Нехай f(x) - парна функція з періодом 2L , що задовольняє умові f(-x) = f(x) .

Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:

$a_0=\frac{1}{l} \int\limits_{-l}^{k} f(x) dx = \frac{2}{l} \int\limits_{0}^{l} f(x) dx$

$a_n=\frac{1}{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{\pi nx}{l} dx = \frac{2}{l} \int\limits_{0}^{l} f(x) \cos \frac{\pi nx}{l} dx$

$b_n=\frac{1}{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{\pi nx}{l} dx =0$ , де $n = 1,2,...$

Таким чином, в ряді Фур'є для парної функції відсутні члени з синусами, і ряд Фур'є для парної функції з періодом $2 L$ виглядає так:

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos \frac{\pi nx}{l}$

Нехай тепер $f (x)$ — непарна функція з періодом $2 L$ , що задовольняє умові $f ( - x) = - f (x)$ .

Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:

$b_n=\frac{2}{l} \int\limits_{0}^{l} f(x) \sin \frac{\pi nx}{l} dx$ , де $n = 1,2,...$

Таким чином, в ряді Фур'є для непарної функції відсутній вільний член і члени з косинусами, і ряд Фур'є для непарної функції з періодом $2 L$ виглядає так:

$f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n \sin \frac{\pi nx}{l}$

Якщо функція $f (x)$ розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на проміжку $[-\pi, \pi]\!$ то

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ ,

де $a_0=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$

$a_n=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx$

$b_n=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx$

Якщо $f (x)$ розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на $[0, L]$ , то довизначивши задану функцію $f (x)$ відповідним чином на $[ - L,0]$ ; після чого періодично продовживши на $(T = 2 L)$ , отримаємо нову функцію, яку розкладаємо в новий ряд Фур'є.

Для розкладу в ряд Фур'є неперіодичної функції, заданої на кінцевому довільному проміжку $[a, b]$ , треба: довизначити $[b, a + 2 L]$ і періодично продовжити, або довизначити на $[b - 2 L, a]$ і періодично продовжити.

[ред.] Комплексна форма ряду Фур'є

Вираз $\sum_{-\infty}^\infty c_n e^\frac{i\pi nx}{l}$ називається комплексною формою ряда Фур'є функції $f (x)$ , якщо визначається рівністю

$c_n=\frac{1}{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) e^{-\frac{i\pi nx}{l}} dx$ , де $n=0,\pm1,\pm2,...$

Перехід від ряду Фур'є в комплексній формі до ряду в дійсній формі і навпаки виконується за допомогою формул:

$c_n=\frac{a_n-i b_n}{2}$

$c_0=\frac{a_0}{2}$

$\omega=\frac{1}{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) dx$

$a n = 2 R e c n$

$b n = 2 I m c n$

$a 0 = 2 c 0$

$(n = 1,2,...)$

[ред.] Формули дискретного перетворення Фур'є

Зворотнє перетворення Фур'є

$f(t_k)=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} C_k^\blacklozenge e^{i \frac{2\pi k}{T} t_n}$

$C_n^\blacklozenge=\sum_{n=0}^{\infty} f(x) e^{-in \frac{2\pi}{T} t_n}$ ,

де $n = 1,2,..., k = 1,2,...$

Дискретним перетворенням Фур'є називається N- вимірний вектор $(C_0^\blacklozenge, ..., C_{N-1}^\blacklozenge)$

$C_n^\blacklozenge=\sum_{n=0}^{N-1} f(t_n) e^{\frac{-i2\pi n}{T} t_n}$

при цьому, $C_n=\frac{C_n}{N}$

[ред.] Див. також

[ред.] Література

Рудин У. Основы математического анализа 1976
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов, т. 2. М., «Наука», 1964.

[ред.] Зовнішні посилання

— Java-аплет, що демонструє розклад на гармоніки в інтерактивному режимі

[ред.] Примітки

↑ Функція називається кусково-монотонною на певному відрізку, якщо цей відрізок може бути розбитий на скінченне число інтервалів так, що на кожному інтервалі функція буде неспадною або незростаючою (тобто монотонною).

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

[0] Функція називається кусково-монотонною на певному відрізку, якщо цей відрізок може бути розбитий на скінченне число інтервалів так, що на кожному інтервалі функція буде неспадною або незростаючою (тобто монотонною).

[1]

Ряд Фур'є

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Визначення

[ред.] Класичне визначення

[ред.] Загальне визначення

[ред.] Збіжність ряду Фур'є

[ред.] Достатні ознаки розкладу функції в ряд Фур'є

[ред.] Ряди Фур'є для парних і непарних функцій

[ред.] Комплексна форма ряду Фур'є

[ред.] Формули дискретного перетворення Фур'є

[ред.] Див. також

[ред.] Література

[ред.] Зовнішні посилання

[ред.] Примітки

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами