Ряд Фур'є

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ряд Фур'є — в математиці — спосіб представлення довільної складної функції сумою простіших. В загальному випадку кількість таких функцій може бути нескінченною, при цьому чим більше таких функцій враховується при розрахунку, тим вищою стає кінцева точність представлення даної функції. В більшості випадків в якості найпростіших використовуються тригонометричні функції синуса і косинуса. В цьому випадку ряд Фур'є називається тригонометричним, а обчислення такого ряду часто називають розкладом на гармоніки.

Ряди названі на честь французького математика Жана Батиста Жозефа Фур'є.

Визначення[ред.ред. код]

Класичне визначення[ред.ред. код]

Тригонометричним рядом Фур'є називають функційний ряд виду

\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \big[ a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \big]

Якщо ряд збігається, то його сума дорівнює періодичній функції \ f(x) з періодом \ 2\pi, оскільки \ \sin nx та \ \cos nx є періодичними з періодом \ 2\pi.

Сталі числа \ a_0, a_n, b_n \;\; (n \in \mathbb{N}) називаються коефіцієнтами тригонометричного ряду:

a_n= \frac1{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)dx, \qquad b_n= \frac1{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)dx.

Загальне визначення[ред.ред. код]

Нехай дано ортогональну систему в Гільбертовому просторі R \{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\} та \ f — довільний елемент з R. Послідовність чисел

c_k =\frac{\langle f, \varphi_k \rangle}{||\varphi_k||^2}

називається координатами, або коефіцієнтами Фур'є елемента f по системі \{\varphi_k\}, а ряд

\sum_k c_k \varphi_k

називається рядом Фур'є елемента \ f по ортогональній системі \{\varphi_k\}.

Справедлива так звана нерівність Бесселя:

\sum_{k=1}^\infty c_k^2 \le ||f||^2.

Якщо виконується рівність Парсеваля

\sum_{k=1}^\infty c_k^2 = ||f||^2,

то нормована система \{\varphi_k\} називається замкненою.

Справедливе твердження: в сепарабельному евклідовому просторі R будь-яка повна ортогональна нормована система є замкненою і навпаки.

Збіжність ряду Фур'є[ред.ред. код]

Докладніше: Ознака Діні
Збіжність ряду Фур'є

Теорема:

Якщо періодична функція f(x)\! з періодом 2\pi\! — кусково-монотонна[1] і обмежена на відрізку [-\pi, \pi]\!, то тригонометричний ряд Фур'є, побудований для цієї функції, збігається у всіх точках. Сума одержаного ряду s(x)\! дорівнює значенню функції f(x)\! в точках її неперервності. В точках розриву f(x)\! сума ряду дорівнює середньому арифметичному границь функції f(x)\! справа і зліва.

З цієї теореми випливає, що тригонометричні ряди Фур'є застосовні до достатньо широкого класу функцій.

Достатні ознаки розкладу функції в ряд Фур'є[ред.ред. код]

Теорема Діріхле. Якщо f(x)\! періодична з періодом 2\pi\!, функція неперервна або має скінченну кількість точок розриву першого роду на відрізку [-\pi, \pi]\! і цей відрізок можна розбити на скінченну кількість частин, в кожній з яких f(x)\! монотонна, то ряд Фур'є відносно функції збігається до f(x)\! в точках неперервності і до середнього арифметичного односторонніх границь в точках розриву першого роду.

Ряди Фур'є для парних і непарних функцій[ред.ред. код]

Нехай f(x) - парна функція з періодом 2L , що задовольняє умові f(-x) = f(x) .

Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:

a_0=\frac{1}{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) dx = \frac{2}{l} \int\limits_{0}^{l} f(x) dx

a_n=\frac{1}{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{\pi nx}{l} dx = \frac{2}{l} \int\limits_{0}^{l} f(x) \cos \frac{\pi nx}{l} dx

b_n=\frac{1}{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{\pi nx}{l} dx =0, де n=1,2, . . .

Таким чином, в ряді Фур'є для парної функції відсутні члени з синусами, і ряд Фур'є для парної функції з періодом 2L виглядає так:

f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos \frac{\pi nx}{l}

Нехай тепер f(x) — непарна функція з періодом 2L, що задовольняє умові f(-x)=-f(x).

Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:

b_n=\frac{2}{l} \int\limits_{0}^{l} f(x) \sin \frac{\pi nx}{l} dx, де n=1,2, . . .

Таким чином, в ряді Фур'є для непарної функції відсутній вільний член і члени з косинусами, і ряд Фур'є для непарної функції з періодом 2L виглядає так:

f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n \sin \frac{\pi nx}{l}

Якщо функція f(x) розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на проміжку [-\pi, \pi]\! то

f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx),

де a_0=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) dx

a_n=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx

b_n=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx

Якщо f(x) розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на [0,L], то довизначивши задану функцію f(x) відповідним чином на [-L,0]; після чого періодично продовживши на (T=2L), отримаємо нову функцію, яку розкладаємо в новий ряд Фур'є.

Для розкладу в ряд Фур'є неперіодичної функції, заданої на кінцевому довільному проміжку [a,b], треба: довизначити [b,a+2L] і періодично продовжити, або довизначити на [b-2L,a] і періодично продовжити.

Комплексна форма ряду Фур'є[ред.ред. код]

Вираз \sum_{-\infty}^\infty c_n e^\frac{i\pi nx}{l} називається комплексною формою ряду Фур'є функції f(x), якщо визначається рівністю

c_n=\frac{1}{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) e^{-\frac{i\pi nx}{l}} dx, де n=0,\pm1,\pm2,...

Перехід від ряду Фур'є в комплексній формі до ряду в дійсній формі і навпаки виконується за допомогою формул:

c_n=\frac{a_n-i b_n}{2}

c_0=\frac{a_0}{2}

\omega=\frac{1}{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) dx

a_n=2Re c_n

b_n=-2Im c_n

a_0=2 c_0

(n=1,2, . . .)

Формули дискретного перетворення Фур'є[ред.ред. код]

Зворотне перетворення Фур'є

f(t_k)=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} C_k^\blacklozenge e^{i \frac{2\pi k}{T} t_n}

C_n^\blacklozenge=\sum_{n=0}^{\infty} f(x) e^{-in \frac{2\pi}{T} t_n},

де n=1,2,... , k=1,2,...

Дискретним перетворенням Фур'є називається N- вимірний вектор (C_0^\blacklozenge, ..., C_{N-1}^\blacklozenge)

C_n^\blacklozenge=\sum_{n=0}^{N-1} f(t_n) e^{\frac{-i2\pi n}{T} t_n}

при цьому, C_n=\frac{C_n}{N}

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М.: Высшая школа, 1989. — Т. 3. — 352 с.
  • Никольский С. М. Курс математического анализа. — М.: Наука, 1983. — Т. 2. — 448 с.
  • Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. — М.: Наука, 1978. — Т. 2. — 576 с.
  • Рудин У. Основы математического анализа. — М.: Мир, 1976. — 320 с.
  • Фихтенгольц Ф. М. Основы математического анализа. — М.: Наука, 1970. — Т. 3. — 656 с.
  • Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. — М.: Мир, 1985. — 264+400 с.

Посилання[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Функція називається кусково-монотонною на певному відрізку, якщо цей відрізок може бути розбитий на скінченне число інтервалів так, що на кожному інтервалі функція буде неспадною або незростаючою (тобто монотонною).