Рівномірна обмеженість

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, обмеженими функціями є функції для яких існує нижня межа та верхня межа, іншими словами, константа, що є більшою ніж абсолютна величина будь-якого значення цієї функції. Для довільної послідовності обмежених функцій, ця константа може дуже різнитися. Якщо існує константа, що обмежує всі функції цієї послідовності, то така послідовність функцій називається рівномірно обмеженою.

Означення[ред.ред. код]

Випадок дійснозначних та комплекснозначних функцій[ред.ред. код]

Нехай

\mathcal F=\{f_i: X \to K, i \in I\}

деяка послідовність функцій, де I — деяка множина індексів, X — довільна множина, а K — множина дійсних чи комплексних чисел. Послідовність \mathcal F рівномірно обмежена, якщо існує дійсне число M таке, що

|f_i(x)|\leqslant M \qquad \forall i \in I \quad \forall x \in X.

Метричний та нормований простори[ред.ред. код]

\mathcal F=\{f_i: X \to Y, i\in I\}

називається рівномірно обмеженою, якщо існує елемент a з Y і дійсне число M таке, що

d(f_i(x), a) \leqslant M \qquad \forall i \in I \quad \forall x \in X.

Тоді множина відображень \mathcal F — рівномірно обмежена, якщо існує дійсне число M таке, що

\|f_i(x)\| \leqslant M \qquad \forall i \in I \quad \forall x \in X.

Приклади[ред.ред. код]

  • Послідовність функцій f_n(x)=\sin nx\, визначена для всіх дійсних x, де n приймає значення на множині цілих чисел, буде рівномірно обмежена одиницею.
  • Послідовність похідних наведеденої вище послідовності f'_n(x)=n\, \cos nx, не є рівномірно обмеженою. Кожна з функцій f'_n\, обмежена величиною |n|,\, але не існує дійсного числа M такого, що |n|\leqslant M для всіх цілих n.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Москва: Наука, 1976. — 543 с.