Рівномірно-темперований стрій

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Темперо́ваний стрій (від лат. temeratio — правильне співвідношення, розмірність), (рівномірно темперований стрій) — музичний стрій, при якому кожна октава ділиться на певну кількість однакових ступенів. В європейській практиці октава поділяється на дванадцять рівних ступенів, що віддалені один від одного на відстань хроматичного півтону (1:\sqrt[12]{2}). Такий стрій є основним в європейській музиці з XIX століття. Також у східній музиці зустрічається 24-ступенева рівномірна темперація, але вона застосовується рідше.

Історія[ред.ред. код]

12-ступеневий рівномірно темперований стрій виник в процесі пошуків музичними теоретиками ідеального строю. Історично попередній натуральний стрій мав низку недоліків, які зникли з введенням рівномірної темперації, зокрема кома та Вовча квінта.

У нового строю було багато противників. Новий стрій порушував сувору пропорцію інтервалів, як наслідок, в акордах почали з'являтися невеликі биття. На думку багатьох теоретиків, це було замахом на чистоту музики. Андреас Веркмейстер стверджував, що в новому строї всі тональності ставали одноманітними та симетричними, в той час як в старих строях завдяки нерівномірності темперації кожна тональність мала своє неповторне звучання.

В якості одного з аргументів дискусії цікавий «Добре темперований клавір» Й. С. Баха — збірник прелюдій та фуг у всіх можливих тональностях.

З часом рівномірна темперація завоювала визнання і стала фактичним стандартом.

Розрахування частот звуків[ред.ред. код]

Можна математично вирахувати частоти для усього звукоряду, користуючись формулою:

 f(i) = f_0 \cdot 2^{i/12} ,

Де f0 — частота камертону (наприклад Ля 440 Hz), а i — кількість півтонів в інтервалі від шуканого звуку до еталону f0. Послідовність обчислених таким чином частот створює геометричну прогресію

Наприклад можна обчислити звук на тон (2 півтони) нижче від камертону Ля:

 i=-2
 f(-2) = 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^{-2/12} \approx 391{,}995\,\mathrm{Hz}

Отримаємо соль. Якщо нам треба обчислити ноту соль, але на октаву вище (12 півтонів)

 i=12-2=10
 f(10) = 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^{10/12} \approx 783{,}991\,\mathrm{Hz}

Частоти двох отриманих нот Соль відрізняються в два рази, що дає чисту октаву. Переваги рівномірної темперації також у тому, що можна довільно транспоніювати п'єсу на будь-який інтервал вверх чи вниз, при цьому різниця для людей без абсолютного слуху буде непомітною.

Поділ октави саме на дванадцять рівних частин має математичне обґрунтування. Як відомо, натуральний стрій використовує інтервали, які є досконалими консонансами, побудовані на основі обертонів. Важливо, щоб і при рівномірній темперації ці інтервали відтворювались якомога точніше. Так, найважливіший з них — чиста квінта — відповідає відношенню частот 3:2. Якщо октава розділена на n півтонів і квінта дорівнює k півтонам, то

k/n=\log_2 3/2.

У правій частині виразу — ірраціональне число, яке може бути виражено відношенням цілих чисел лише наближено. Найкращими наближеннями є 1:1, 1:2, 3:5, 7:12, 24:41, 31:53 і т. д. Перші наближення є неприйнятно грубими (у звукоряді залишається одна-єдина нота, або дві), останні навряд чи доцільно реалізовувати технічно (наприклад, 41 ладовий поріжок на половині довжини струни). Практично застосовують поділ октави або на п'ять (рівномірно темперована пентатоніка), або на дванадцять частин. Останній поділ дає задовільні наближення не лише для квінти й кварти, а й для інших інтервалів натурального строю.

Були спроби створення рівномірно-темперованого строю шляхом поділу на рівні частини не октави (інтервалу між тоном і його другою гармонікою), а дуодецими (інтервалу третьої гармоніки). Поділ дуодецими на тринадцать частин дає хороші наближення для інтервалів, що відповідають п’ятій, сьомій, дев’ятій гармонікам, які у класичному рівномірно-темперованому строї звучать фальшиво [1].

Порівняння з натуральним строєм[ред.ред. код]

Рівномірно темперований стрій дуже легко можна відобразити у вигляді виміру інтервалів у центах:

Тон C1 C# D Eb E F F# G G# A B H C2
Цент 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

Наступна таблиця демонструє різницю інтервалів рівномірно-темперованого строю з натуральним:

Інтервал Значення в рівномірно-темперованому строї Десяткове Значення в Натуральному строї Різниця в центах
Прима   1 1,000000 1 = 1,000000 0,00
Мала секунда \sqrt[12]{2^1} = \sqrt[12]{2} 1,059463 16/15 = 1,066667 −11,73
Велика секунда \sqrt[12]{2^2} = \sqrt[6]{2} 1,122462 9/8 = 1,125000 −3,91
Мала терція \sqrt[12]{2^3} = \sqrt[4]{2} 1,189207 6/5 = 1,200000 −15,64
Велика терція \sqrt[12]{2^4} = \sqrt[3]{2} 1,259921 5/4 = 1,250000 +13,69
Кварта \sqrt[12]{2^5} = \sqrt[12]{32} 1,334840 4/3 = 1,333333 +1,96
Тритон \sqrt[12]{2^6} = \sqrt{2} 1,414214 7/5 = 1,400000 +9,78
Квінта \sqrt[12]{2^7} = \sqrt[12]{128} 1,498307 3/2 = 1,500000 −1,96
Мала секста \sqrt[12]{2^8} = \sqrt[3]{4} 1,587401 8/5 = 1,600000 −13,69
Велика секста \sqrt[12]{2^9} = \sqrt[4]{8} 1,681793 5/3 = 1,666667 +15,64
Мала септима \sqrt[12]{2^{10}} = \sqrt[6]{32} 1,781797 16/9 = 1,777778 +3,91
Велика септима \sqrt[12]{2^{11}} = \sqrt[12]{2048} 1,887749 15/8 = 1,875000 +11,73
Октава \sqrt[12]{2^{12}} = {2} 2,000000 2/1 = 2,000000 0

Джерела[ред.ред. код]

  1. Bohlen, Heinz (1978). "13 Tonstufen in der Duodezime". Acoustica (Stuttgart: S. Hirzel Verlag)[[1]]