Рівностепенева неперервність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівностепенева неперервність — властивість сім'ї неперервних функцій, яка полягає в тому, що всі функції змінюються однаково в межах заданого околу.

Означення[ред.ред. код]

Рівностепенева неперервність і рівномірна рівностепенева неперервність[ред.ред. код]

Нехай

\mathcal{F}=\{f_i(x):X\rightarrow \mathbb{R}, i\in I\},

деяка сім'я неперервних функцій, де X\subseteq\mathbb{R} — деяка підмножина дійсної осі, I — множина індексів.

Множина функцій \mathcal{F} — рівностепенево неперервна в точці x_0\in X, якщо

 \forall \varepsilon >0 \quad \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0 \quad \forall x\in X \quad |x-x_0|<\delta
\qquad \forall f_i\in\mathcal{F}, \quad |f_i(x)-f_i(x_0)|< \varepsilon.

Множина функцій \mathcal{F} — рівностепенево неперервна, якщо вона рівностепенево неперервна в кожній точці з X. Іншими словами, для довільного \varepsilon >0 знайдеться таке \delta>0, яке залежить від \varepsilon та x_0, що для довільних x\in X таких, що |x-x_0|<\delta випливає, що нерівність |f_i(x)-f_i(x_0)|< \varepsilon виконується одночасно для всіх функцій з \mathcal{F}.


Множина функцій \mathcal{F} — рівномірно рівностепенево неперервна, якщо

 \forall \varepsilon >0 \quad \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0 \quad \forall x_1, x_2\in X \quad |x_1-x_2|<\delta
\qquad \forall f_i\in\mathcal{F}, \quad |f_i(x_1)-f_i(x_2)|< \varepsilon.

Іншими словами, для довільного \varepsilon >0 знайдеться таке \delta>0, яке залежить тільки від \varepsilon, що для довільних x_1, x_2\in X таких, що |x_1-x_2|<\delta випливає, що нерівність |f_i(x_1)-f_i(x_2)|< \varepsilon виконується одночасно для всіх функцій з \mathcal{F}.


Різниця між рівностепеневою неперервністью і рівномірною рівностепеневою неперервністю в тому, що у першому випадку вибір \delta залежить і від x_0, і від \varepsilon. У випадку рівномірної рівностепенової неперервності \delta залежить тільки від \varepsilon. Часто коли говорять про рівностепеневу неперервність, то під нею розуміють рівномірну рівностепеневу неперервність.

Метричний простір[ред.ред. код]

Наведені означення безпосередньо переносяться на випадок метричних просторів [1]

Нехай (X,d_X), (Y,d_Y) — метричні простори і C(X,\;Y) — множина всіх неперервних відображень з X в Y.

Підмножина відображень D\subset C(X,\;Y) — рівностепенево неперервна в точці x_0\in X, якщо

 \forall \varepsilon >0 \quad \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0 \quad \forall x\in X \quad d_X(x,x_0)<\delta
\qquad \forall f_i\in\mathcal{F}, \quad  d_Y(f(x),f(x_0))< \varepsilon.

Множина D — рівностепенево неперервна, якщо вона рівностепенево неперервна в кожній точці з X.

Підмножина відображень D\subset C(X,\;Y) називається рівномірно рівностепенево неперервною, якщо

 \forall \varepsilon >0 \quad \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0 \quad \forall x_1, x_2\in X \quad d_X(x_1,x_2)<\delta
\qquad \forall f\in C(X,\;Y), \quad d_Y(f(x_1),f(x_2))< \varepsilon.

Більш загально, якщо X — топологічний простір, то множина F відображень з X в (Y,d_Y) називається рівностепенево неперервною в точці x_0\in X, якщо

 \forall \varepsilon >0 \quad \exists U_{x_0} \quad \forall x\in U_{x_0} \quad \forall f\in F, \quad d_Y(f(x),f(x_0))< \varepsilon,

де U_{x_0} позначає деякий окіл точки x_0.

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо X — компактний простір, то множина функцій рівномірно рівностепенево неперервна тоді і тільки тоді, коли вона рівностепенево неперервна.
  • Кожна з функцій рівномірно рівностепеневої множини функцій рівномірно неперервна.
  • Будь-яка скінченна множина рівномірно неперервних функцій рівномірно рівностепенево неперервна.
  • Нехай \{f_n(x)\}, n\in\mathbb{N} — рівностепенево неперервна сім'я функцій і  f_n(x)\rightarrow f(x) поточково для довільного x, тоді f(x) — неперервна [2].
  • Нехай \{f_n(x)\}, n\in\mathbb{N} — рівностепенево неперервна сім'я функцій з (X,d_X) в повний метричний простір (Y,d_Y) і \lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x) для всіх x з деякої щільної в X підмножини, тоді \lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x) для всіх x\in X.
  • Нехай  X — компактний простір і \{f_n(x)\}, n\in\mathbb{N} — рівномірно рівностепенево неперервна сім'я функцій і \lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x) поточково для довільного x\in X, тоді f_n(x)\rightarrow f(x) рівномірно.
  • Згідно узагальненої теореми Арцела якщо X, Y — компактні простори, то підмножина D\subset C(X,\;Y) компактна в C(X,\;Y) як метричному просторі наділеному рівномірною метрикою \rho(f,\;g) = \max_{x\in X} d_Y(f(x),\;g(x)), \,\, f,g\in C(X,\;Y), тоді і тільки тоді, коли D рівностепенево неперервна.

Приклади[ред.ред. код]

  • Послідовність функцій з однаковою константою Ліпшица утворюють (рівномірно) рівностепеневу множину функцій. В частковому випадку такою є множина функцій похідні яких є рівномірно обмеженими.
  • Нехай F(x,y) — неперервна на [a,b]\times [a,b] функція. Розглянемо відображення G:C[a,b]\rightarrow C[a,b], яке задається формулою
(G\cdot f)(x)=\int_a^bF(x,y)f(y)dy.

Тоді множина  \{G\cdot f\mid \sup\nolimits_{y\in[a,b]}|f(y)|\leqslant 1 \} рівностепенево неперервна [3].

Узагальнення[ред.ред. код]

Рівностепенева неперервність узагальнюється для відображень між топологічними просторами, які наділені так званою рівномірною структурою (у топологічному просторі X вводиться спеціальна топологія — сім'я підмножин з декартового добутку X\times X наділена певними властивостями).

Примітки[ред.ред. код]

  1. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1977. — С. 42-43.
  2. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1977. — С. 43.
  3. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1977. — С. 49.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Москва: Наука, 1976. — 543 с.
  • Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — Москва: Мир, 1977. — 355 с.