Рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Ілюстрація графічного методу знаходження коренів рівняння  x = f(x)

Рівняння — аналітичний запис задачі знаходження аргументів, при яких дві задані функції рівні між собою.

 f(x) = g(x) \,,

де  f(x) \, та  g(x) \, - деякі задані функції, які називаються лівою та правою частинами рівняння, x - елемент множини, на якій визначені функції f та g.

Аргументи функцій рівняння називають невідомими (величинами), значення невідомих, при яких рівняння стає рівністю — коренями рівняння. Рівняння може мати один, кілька або нескінченно багато коренів, а може не мати кореня взагалі.

Іноді математична задача накладає обмеження на множину, якій повинні належати розв'язки рівняння, наприклад, діофантові рівняння вимагають тільки цілочисленного розв'язку. Існування та кількість коренів рівняння теж можуть залежати від множини: наприклад, рівняння  x^2 = -1 не має дійсних розв'язків, однак має комплексні розв'язки.

Нормальна форма запису рівняння має вигляд:

 F(x) = 0 .

До неї можна перейти, перенісши праву частину рівняння наліво. Рівняння в такій формі називається однорідним.

Для того, щоб розв'язати рівняння, треба знайти його розв'язки або довести, що їх не існує.

Агрументами фунцій, а, отже, невідомими рівнянь можуть бути не тільки числа, а й складніші математичні об'єкти. Наприклад, в диференціальних рівняннях невідомими є функції, в операторних — оператори тощо.

Еквівалентність рівнянь[ред.ред. код]

Два рівняння називаються еквівалентними або рівносильними, якщо кожен корінь одного рівняння є коренем другого рівняння і навпаки.

Еквівалентність рівнянь має властивість рефлексивності: якщо одне рівняння еквівалентне другому, то друге рівняння еквівалентне першому.

Еквівалентність рівнянь має властивість транзитивності: якщо одне рівняння еквівалентне другому, а друге еквівалентне третьому, то перше рівняння еквівалентне третьому. Властивість еквівалентності рівнянь дозволяє проводити з ними перетворення, на яких ґрунтуються методи їхнього розв'язання.

Третя важлива властивість задається теоремою: рівняння

 f_1(x) \cdot f_2(x) = 0 \,

еквівалентне сукупності рівнянь:

 f_1 (x) = 0, \qquad f_2(x) = 0. \,

Це означає, що всі корені першого рівняння є коренями одного з двох інших рівнянь, і дає змогу знаходити корені частинами.

Наслідок рівняння та сторонні корені[ред.ред. код]

Рівняння

 F(x) = G(x) \,

називається наслідком рівняння

 f(x) = g(x) \, ,

якщо всі корені другого рівняння є коренями першого. Загалом перше рівняння може мати додаткові корені, які щодо другого рівняння називаються сторонніми. Сторонні корені можуть з'явитися при перетвореннях, необхідних для знаходження коренів рівнянь. Для того, щоб їх виявити, потрібно перевірити корінь підстановкою у початкове рівняння. Якщо при підстановці рівняння стає тотожністю, то корінь справжній, якщо ні - сторонній.

Приклад[ред.ред. код]

Рівняння

 \sqrt{2x^2 -1} = x, \,

при піднесенні обох частин до квадрату дає рівняння

 2x^2 -1 = x^2, \,  або  x^2 = 1. \,

Обидва рівняння є наслідками початкового. Останнє з них легко розв'язати. Воно має два корені

 x = 1 та  x = -1 .

При підстановці першого кореня в початкове рівняння утворюється тотожність

 \sqrt{1} = 1. \,

При підстановці другото кореня утоврюється неправильне твердження:

 \sqrt{1} = -1. \, .

Отже, другий корінь потрібно відкинути, як сторонній.

Основні властивості рівнянь[ред.ред. код]

З алгебраїчними виразами, що входять до рівняння можна виконувати операції, які не змінюють його коренів, зокрема.

  1. У будь-якій частині рівняння можна розкрити дужки.
  2. У будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки.
  3. Будь-який член рівняння можна перенести з однієї частини в іншу, замінивши його знак на протилежний.
  4. Обидві частини рівняння можна множити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля.

Рівняння, які є результатом цих операцій є еквівалентними початковому рівнянню.

Піднесення обох частин рівняння до квадрату може призвести до появи сторонніх коренів.

Розв'язування рівнянь[ред.ред. код]

Певні класи рівнянь мають аналітичні розв'язки, які зручні тим, що не тільки дають точне значення кореня, а дозволяють записати розв'язок у вигляді формули, до якої можуть входити параметри. Аналітичні вирази дозволяють не тільки обрахувати корені, а провести аналіз їхнього існування та їхньої кількості в залежності від значень параметрів, що часто буває навіть важливіше для практичних застосувань, ніж конкретні значення коренів.

До рівнянь, для яких відомі аналітичні розв'язки, належать алгебраїчні рівняння, не вище четвертого степеня: лінійне рівняння, квадратне рівняння, кубічне рівняння та рівняння четвертого степеня. Алгебраїчні рівняння вищих степенів у загальному випадку аналітичного розв'язку не мають, хоча деякі з них можна звести до рівнянь нижчого степеня.

Рівняння, до яких входять трансцендентні функції називаються трансцендентними. Серед них аналітичні розв'язки відомі для деяких тригонометричних рівнянь, оскільки нулі тригонометричних функцій добре відомі.

У загальному випадку, коли аналітичного розв'язку знайти не вдається, застосовують чисельні методи. Чисельні методи не дають точного розв'язку, а тільки дозволяють звузити інтервал, в якому лежить корінь, до певного наперед заданого значення.

Застосування[ред.ред. код]

Рівняння часто виникають при розв'язуванні практичних або теоретичних задач у різних областях науки й техніки: фізиці, хімії, економіці тощо.

Рівняння і формули[ред.ред. код]

Оскільки математичні рівняння достатньо вивчений об'єкт й існують як аналітичні, так і чисельні методи їх розв'язку задачі інших областей спочатку формулюються у вигляді рівнянь. Для цього перш за все потрібно ввести позначеня невідомих величин і параметрів і використати формули відповідних областей знань, для того, щоб записати співвідношення між ними.

Відмінність від формулою і рівнянням в тому, що формула є правилом для обчислення якоїсь величини і зазвичай має форму:

 y = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \,,

де у — величина, яку треба обчислити, а  f(x_1, x_2, \ldots, x_n) певна функція від набору параметрів. При застосуванні формули потрібно підставити в неї значення параметрів і отримати значення y. Проте, кожну формулу можна трактувати також як рівняння, якщо відоме значення y, і потрібно знайти значення параметрів, при яких воно реалізується. В цьому випадку параметри, або частина параметрів, стають невідомими.

Особливості рівнянь фізики[ред.ред. код]

Особливістю рівнянь у фізиці є те, що змінні, які позначають фізичні величини, є зазвичай розмірними. Розмірність дозволяє проводити додаткову перевірку обчислень, оскільки розмірність результату повинна бути правильна. Якщо величини й параметри, задані в задачі в різних одиницях, всі одиниці перед розв'язуванням рівняння повинні бути зведені до однієї системи одиниць. Для чисельного розв'язування фізичних задач, фізичне рівняння потрібно спочатку обезрозмірити, тобто ввести нові безрозмірні змінні. Такі змінні зазвичай одержують, ділячи певну фізичну величину на її характерне значення.

При розв'язанні фізичних задач отримані корені рівнянь необхідно перевірити на відповіднність тим припущенням, у рамках яких були отримані рівняння. Іноді математично строгі розв'язки потрібно відкинути, оскільки вони не мають фізичного сенсу.

Окремі з рівнянь фізики мають свої власні назви, наприклад, рівняння руху описують еволюцію фізичної системи, а рівняння стану в термодинаміці задають зв'язок між термодинамічними параметрами.

Особливості рівнянь у хімії[ред.ред. код]

У хімії хімічні рівняння описують перетворення речовин при хімічній реакції. Водночас, вони можуть використовуватися для визначення балансу речовин при таких реакціях, тобто є математичними рівняннями, зазвичай лінійними.

Рівносильні рівняння[ред.ред. код]

Рівняння, які мають однакові корені або взагалі не мають коренів, називаються рівносильними рівняннями. Два рівняння рівносильні, якщо вони мають одні й ті ж корені або їх не мають. Щоб розв’язувати складніші рівняння, треба замінювати їх рівносильними рівняннями і зводити до найпростіших рівнянь. Щоб перетворення були рівносильними, треба використовувати основні властивості рівнянь: - у будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки або розкрити дужки, якщо вони є. - будь-який член рівняння можна перенести в іншу частину рівняння, змінивши його знак на протилежний. - обидві частині рівняння можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля. - до обох частин рівняння можна додати (відняти) одне й те саме число. Щоб розв’язати лінійне рівняння, скористаємось таким планом розв’язку за допомогою рівносильних перетворень: - якщо у членів рівняння є знаменники, то позбудемось них, помноживши обидві частини рівняння на найменший спільний знаменник. - розкриємо всі дужки. - згрупуємо члени рівняння так, щоб члени зі змінною були в одній частині рівняння, а без змінної – в іншій. - зведемо подібні доданки в кожній частині рівняння. - розв’яжемо отримане рівняння вигляду ax = b Зверніть увагу! У дробах позбуватись знаменника, який містить змінну, не можна. Застосування нерівносильних перетворень приводить до втрати розв’язків або до появи сторонніх коренів.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Каплан Я.В. (1968). Рівняння. Київ: Радянська школа.